A

B/C

AC B

A/B C

A

BC

Rekenregels exponentiële vergelijkingen

De standaard formule is f(t) = a * g t : a = De waarde op het snijpunt met de y-as

g = De groeifactor per t

 

De groeifactor kun je omrekenen via de volgende formule:

ΔTnieuw

G oud ΔToud = G nieuw

(LET OP : De tijdseenheden moeten gelijk zijn)

 

Origineel

Herleid

ab * ac

ab+c

(ab)c

ab*c

(a * b)c

ac * bc

a−b

1

ab

acb

√b ac

ab

eb*ln(a)

 

 

Rekenregels logaritmische vergelijkingen

logb(a) = c

Een log vraagt tot welke macht moet ik b verheffen om a te krijgen dus bc = a

 

Origineel

Herleid

loga(b) + loga(c)

loga(b * c)

loga(b) * c

loga(bc)

loga(b)

logc(b)

logc(a)

− loga(b)

loga(1b) (​ i)

− loga(b)

log1(b)

a

 

(i) − loga(b) =− 1 * loga(b) = loga(b−1) = loga(1b)

Goniometrische rekenregels binnen de eigen soort[1]

Je kan gemakkelijk een drie (totaal zes) formules bedenken door gemakkelijk een cirkel te tekenen.

De hoek stelt het getal/formule voor dat je in de (co)sinus stopt, de y-as stelt de waarde van een sinus(α) voor en de x-as de waarde van een cosinus(α). Door de hoek steeds aan te passen zodat het in alle vier de punten komt kun je bepalen wat de verandering in de hoek is (die inhoud van de (co)sinus) en of het negatief hetzelfde is of positief hetzelfde (dit bepaalt of het plus of min is).

 

Hieruit krijg je dan:

Origineel

Herschreven

Sinus

 

sin(a)

− sin(− a)

 

sin(π − a)

 

− sin(π + a)

Cosinus

 

cos(a)

cos(− a)

 

− cos(π − a)

 

− cos(π + a)

 

 

Goniometrische rekenregels naar een ander soort2

Origineel

Herschreven

Herschrijven

 

sin2(a) + cos2(a)

1

tan(a)

sin(a)

cos(a)

sin(a)

cos(12π − a)

cos(a)

sin(12π − a)

− sin(a)

sin(− a)

Verdubbelingsformules

 

Af te leiden3 uit sin2(a) + cos2(a) = 1

 

cos(2a)

2cos2(a) − 1

cos(2a)

1 − 2sin2(a)

Af te leiden uit somformules:

 

cos(2a)

cos2(a) − sin2(a)

sin(2a)

2cos(a) * sin(a)

Somformules (zie voorblad)

 

sin(a + b)

sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)

cos(a + b)

cos(a) * cos(b) − sin(a) * sin(b)

Simpson/Mollweide (zie voorblad)

 

sin(a) + sin(b)

2cos(a−2b) * sin(a+2b)

sin(a) − sin(b)

2cos(a+2b) * sin(a−2b)

cos(a) + cos(b)

2cos(a−2b) * cos(a+2b)

cos(a) − cos(b)

− 2sin(a+2b) * sin(a−2b)

 

23 Samengevat wiskunde B vwo 2016 ​https://goo.gl/mtTvpg

​https://docs.google.com/document/d/1_lFgg2kXxr4d1uW5cG6AHPUN79A7hZSJNogoBoxjo7k/edit

Oplossen vergelijkingen

Lineaire vergelijkingen

y = ax + b

Als je dit ombouwt krijg je: y−b

a = x

Kwadratische vergelijkingen

y = ax2 + bx + c

Bij deze vergelijkingen is het iets moeilijker. Sleep eerste alle termen naar een kant. Vervolgens deel je alle termen door a en herleid je het zodat je een formule krijgt als volgt.

0 = x2 + bx + c

Hierbij kan je gaan kwadraat afsplitsen

(x + 0,5b)2 + c − (0,5b)2 = 0

Dit is makkelijk op te lossen door de laatste twee termen naar de ander kant te slepen. Vervolgens beiden kanten te wortelen en dan de 0,5b naar de ander kant te slepen. Hieruit krijg je :

x = ± √− c + (0,5b)2 − 0,5b

Oplossen wortelvergelijkingen

y = a√b x

Isoleer eerst de wortel. En doe dan beiden kanten tot de macht b. Vervolgens kan nog de inhoud van de wortel opgelost worden. Vergeet hierbij niet te controleren of de oplossing klopt. ( ay )b = x

Oplossen exponentiële vergelijkingen

y = a * bx

Verplaats eerst a naar de andere kant. En neem dan de log b van y/a.

logb(ay ) = x

 

Oplossen hogere machtsvergelijkingen

y = ax2b + cxb + d

1. x​b​ door een variabele. y = ap2 + cp + d
2. de vergelijking op voor p. En stel het antwoord gelijk aan x​b​. Trek hiervan dan vervolgens de b-ste machtswortel van.

Oplossen goniometrische vergelijking[2]

Herleid eerst door middel van de goniometrische formules naar sin(a) = sin(b) V cos(a) = cos(b)

 

Bij de sinus geldt: a = b + 2π * k

of

a + b = π + 2π * k

Bij de cosinus geldt: a = b + 2π * k of

a + b = 0 + 2π * k

 

Hierbij staat 2π * k voor modulo twee pi (LET OP : deze moet gewoon meegedeeld of vermenigvuldigd worden).

Bijzondere waardentabel5

hoek α (radialen)

0

1. ​/6​ ​π

1. ​/4​ ​π

1. ​/3​ π​

1. ​/2​ π​

 

sin ​α

0

1​/​2√1​

1​/​2√2​

1​/​2√3​

 

½ √4

cos ​α

½ √4

1​/​2√3​

1​/​2√2​

1​/​2 ​ √1​

 

0

Onthouden: 0, 6, 4, 3, 2

0, 1, 2, 3, 4

Oplossen stelsel (twee onbekende)

Als er een stelsel is met twee variabelen (bv a en b) kan dan opgelost worden :

1 Druk in een vergelijking een variabele uit in de andere (bv a in b).

2 Vervang deze variabele (a) in de andere vergelijking met het gevonden antwoord.

3 Los deze andere vergelijking op (los b op).

3 Vul deze (b) in de originele vergelijking in.

4 Los de originele variabele (a) op.

 

Bijvoorbeeld :

/a + 2b = 3

2a + 3b = 1

 

/a = 3 − 2b

2a + 3b = 1

 

/a = 3 − 2b

2(3 − 2b) + 3b = 1

 

/a = 3 − 2b

6 − b = 1

 

/a = 3 − 2b

b = 5

 

/a = 3 − 2 * 5

b = 5

 

/a = − 7

b = 5

Translaties

Translatie

Wat

 

Verplaatsen tov Y-as met a

g(x) = f(x) + a

Verplaatsen tov X-as met a

g(x) = f(x − a)

Vermenigvuldigen tov X-as met a

g(x) = a * f(x)

Vermenigvuldigen tov Y-as met a

g(x) = f(ax)

Standaard formules en domein/bereik

Lijn

De standaardformule : y = ax + b

Hierbij is b de snijpunt met de y as en a de richtingscoëfficiënt

 

Een lijn heeft een oneindig domein (x) en bereik (y).

Parabool

De standaardformule : y = ax2 + bx + c(x kan een willekeurige formule zijn)

 

Hierbij is c de snijpunt met de y as.

 

Een parabool heeft een oneindig domein (x) maar een bereik (y) die niet groter/kleiner kan worden dan de top.

Wortelfunctie

De standaardformule : y = a√x − b (x kan een willekeurige formule zijn)

 

Hierbij is B het minimum/maximum van het bereik (y) en bij x=0 is het minimum/maximum van het domein (x).

Gebroken functies

De standaardformule : y = nt + c (t en n kunnen willekeurige formules zijn)

 

De y-asymptoot (domein x) is bij n=0. De x-asymptoot (bereik y) is bij y=t/n (blijf hiervoor t en n afleiden totdat er geen x meer in voorkomt).

Exponentiële functies

De standaardformule : y = a * nx + c (x kan een willekeurige functie zijn)

Hierbij is a+c de y in x=0.

Het maximum/minimum van het bereik (y) is c en het domein (x) is oneindig. Sinusoïde[3]

De algemene formule van een sinusoïde is:

f(x) = a + b · sin(2cπ(x − d))

 

a

evenwichtsstand

b

amplitude

c

periode

d

x-coördinaat van een punt waar de grafiek stijgend de evenwichtsstand snijdt

 

Een sinus heeft een oneindig domein(x) maar een bereik (y) van de evenwichtsstand plus minus de amplitude.

Domein en bereik

Domein zijn de toegestane X-coördinaten.

Bereik zijn de toegestane Y-coördinaten.

 

Soort formule

Domein (X)

Bereik (Y)

Lijn

Oneindig

Oneindig

Parabol

Oneindig

Min/max (bij top)

Wortelfunctie

Min/max (bij negatieve wortel)

Min/max (bij constante)

Gebroken functie

Alles behalve (noemer is nul)

Alles behalve (n’/t’)[4]

Exponentiële functies

Oneindig

min/max (bij constante)

Sinusoïde

Oneindig

Tussen (evenwichtsstand ± amplitude)

 

LET OP : soms zijn er uitzonderingen.

Differentiëren[5]

Origineel (x bevat een functie met variabele)

Afgeleide

Basisregels

 

xn

nxn−1 * x′

nx

ln(n) * nx * x′

logn(x)

x′ (​ i) ln(n)*x

sin(x)

cos(x) * x′

cos(x)

− sin(x) * x′

Andere regels

 

f(x) + g(x)

f′(x) + g′(x)

f(x) * g(x)

f′(x) * g(x) + f(x) * g′(x)

t(x)

n(x)

(nat-tan) n(x)

 

LET OP : Er is al voor de kettingregel gecompenseerd in deze vergelijkingen

 

(i) f(x) = logn(x) = llnn((nx)) = ln(n)−1 * ln(x) f′(x) = [ llnn((nx))]′ = ln(n)−1 * 1x * x′ = x*lxn′(n)

Primitiveren9

Origineel (x bevat de functie)

Primitief

Basisregels10

 

xn

(n+11)*x′ xn+1 + c *

nx

x′*l1n(n) nx + c *

logn(x)

x*ln(x)−x + c (​ i)11 ln(n)*x′

sin(x)

− x1′cos(x) + c

cos(x)

1 sin(x) + c

a′

Speciale gevallen

 

cos2(ax + b)

1x + 21asin(2ax + 2b) + c

2

sin2(ax + b)

1x − 21asin(2ax + 2b) + c

2

LET OP : Vergeet niet er + c achter te stoppen.

LET OP: Bij het primitiveren wordt oppervlakte soms als negatief gezien (zie plaatje). Bereken de x-coördinaten uit van de snijpunten en gebruik absoluutstrepen waar nodig.

910 Samengevat wiskunde B vwo 2016 ​http://bit.ly/2fyQAMU

Ezelbruggetjes exponentiële vergelijkingen : ​http://bit.ly/2mlF9dX

11 Bewijs : ​https://drive.google.com/open?id=1rVFp3EdMUa6OKftpmgHMk2NT7geNhI5O73fsI3p6nXY

Toppen, buigpunten en soorten hellingen

Extreme waarden (toppen)

Je kan de x-coördinaat van een top vinden door de afgeleiden op nul te zetten en de x te vinden. Vervolgens kan je de y-coördinaat vinden door de x-coördinaat in de originele functie te zetten.

Buigpunten

Je kan de x-coördinaat van een buigpunt vinden door de tweede afgeleide op nul te zetten. Vervolgens kan je de y-coördinaat vinden door het in de originele functie te zetten.

Helling soort

 

f’>0

f’<0

f”>0

Toenemend stijgend

Afnemend dalend

f”<0

Afnemend stijgend

Toenemend dalend

 

Omwentel lichamen

Wentelen om de X-as

Om de X as heen wentelen is simpel. Je neemt gewoon de primitief (of integraal) van de functie in het kwadraat keer pi.

b

π * ∫(f(x)2) dx a

Wentelen om een grafiek

Wentelen om een andere grafiek is net zo simpel. Je rekent eerste gewoon de delta uit en daarna doe je die in het kwadraat en keer pi en daar neem je dan de primitief (of integraal) van.

b

π * ∫((f(x) − g(x))2) dx a

Wentelen om de Y-as

1) Druk x uit in y

b

2) π * ∫(f(y)) 2 * dy (hierbij zijn a en b dus twee y-coördinaten waartussen je je

a

vorm wilt hebben.)

VB:

Wentel deze formule om de y-as tussen y=1 en y=5: f(x) = − 2(x − 5)2 + 3 y = − 2(x − 5)2 + 3 y − 3 = − 2(x − 5)2 − 0,5(y − 3) = (x − 5)2

√− 0,5(y − 3) = x − 5

√− 0,5(y − 3) + 5 = x

dy

Lengtes lijnstukken

Om de lengte van een grafiek uit te rekenen pas je de volgende formule toe

L

Zwaartepunt

Voor een zwaartepunt van een oppervlakte (en omwentelingslichaam) geld:

b ∫ x*f(x)dx

x − coordinaat = a b

∫ f(x)dx

a

LET OP: bij een omwentelingslichaam moet de functie van de integraal in het kwadraat (en keer pi).

 

Raaklijnen

Twee functies raken elkaar als geldt:

1) f(x) = g(x)

2) f’(x) = g’(x)

Raaklijn aan grafiek door punt op de grafiek

Zodra je de punt op de grafiek hebt kun je deze formule gebruiken. Voor een raaklijn (g(x)) aan de grafiek (f(x)) in punt (a,b) geldt. g(x) = f′(a) * (x − a) + b

Raaklijn aan grafiek vanuit een punt niet op grafiek

1) Stel de formule van de raaklijn op met transformatie vanuit het punt (b,c):

● g(x) = a(x − b) + c

2) Los het stelsel op: f(x) = g(x) enf′(x) = a 3) Formule raaklijn afmaken: Vul de uitgerekende a in.

Loodrecht snijden twee functies

Twee lijnen snijden elkaar loodrecht als: f(x) = g(x) ⋀ f′(x) * g′(x) = − 1

Trillingen en lissajous-figuren

Fase

Fase geeft aan hoever een trilling door de gehele trilling door is. Dit wordt aangegeven in aantal trillingen.

De volgende algemene formule van geldt dan. sin (ax + b) f = a2*πx

Vaak moet gelden : 0 ≤ f < 1

In dat geval moet je gewoon alleen de decimalen laten staan.

Faseverschillen

Als twee trillingen dezelfde frequentie hebben kan een faseverschil uitgerekend worden.

 

Herschrijf eerst de formules als volgt sin(ax + b) sin(a * (x + ba))

Reken vervolgens het verschil uit tussen de twee

Δf = 2πb2a2 − 2πb1a1

 

Periode combinatie van trillingen

Als twee sinusoides met verschillende trillingen bij elkaar opgeteld worden krijg je niet een nieuwe trilling maar de resulterende functie is wel periodiek.

f(x) = sin(ax + b) + sin(bx + b) + sin(....

Bepaal de periode van alle termen. Zoek hiervan de kleinst gemeenschappelijke periode.

De grootste gemeenschappelijke veelvoud kan worden omgezet naar de kleinst gemeenschappelijke veelvoud. kgv(a, b) = ggva(*ab, b)

Bijvoorbeeld :

f(x) = sin(3x − 4) + sin(5x + 7) Periode eerste term :

Periode tweede term :

Kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 3 en 5 is 3*15 = 15.

Dus de gemeenschappelijke periode is

 

Lissajous parametervoorstelling bepalen

De standaardformule voor een normale parametervoorstelling is :

x = a * sin(bt) y = c * sin(dt) Waarin :

a De maximale uitwijking op de x as.

b Het aantal keer dat het figuur de y-as snijdt gedeeld door twee.

c De maximale uitwijking op de y as. d Het aantal keer dat het figuur de x-as snijdt gedeeld door twee. Als er binnen de sinusoides een tweede term komt moet je op basis van andere eigenschappen van de tekeningen (snijpunten) afleiden welke waarde die hebben.

Van parametervoorstelling naar formules

Om een formule te bepalen bij een parametervoorstelling moet de formule tekenen en daarbij een formule verzinnen. Als je een formule krijgt dan moet je gaan substitueren en herleiden.

 

Figuren en bewijzen

Symmetrie

Symmetrie

Als f(a − p) = f(a + p) dan lijnsymmetrisch op lijn x = a

Als f(a − p) + f(a + p) = 2b dan puntsymmetrisch in (a,b)

Punten beschrijven

Een punt schrijf je met een hoofdletter en een lijn met een kleine letter.

Een punt kan worden beschreven als een coördinaat maar een groep punten

(bijvoorbeeld een lijn) kan worden beschreven op de volgende manier

Voor l = ΣP:

d(P,a) = d(P,b)

Wat je hier zegt is:

Voor de lijn, l, die gelijk is aan de alle punten, P, geldt:

De afstand van P naar a is gelijk aan de afstand van P naar b.

Vormen

Driehoeken[6]

Rechthoekige driehoeken:

- Een hoek is precies 90 graden

Gelijkzijdige driehoeken:

- Elke hoek is 60 graden

- Alle zijden zijn even lang

Gelijkbenige driehoek:

- Twee gelijke hoeken

- Twee gelijke zijden Vierhoeken

Vorm

Eigenschappen[7]

Vierhoek

● Vier hoeken

● Vier zijden

Vlieger

● Twee gelijke hoeken

● Twee paren van gelijke zijden

Trapezium

● Vier hoeken

● Twee parallel lopende zijden

Parallelogram

● Twee paren van gelijke hoeken

● Twee paren van gelijke zijden

Ruit

● Twee paren van gelijke hoeken

● Vier gelijke zijden

Rechthoek

● Vier gelijke hoeken

● Twee paren van gelijke zijden

Vierkant

● Vier gelijke hoeken

● Vier gelijke zijden

Lijnen en plaatsen

Lijn of vorm[8]

Definitie

Middelloodlijn

Een lijn die een lijn in twee gelijke stukken deelt en op 90 graden snijd.

- Middelpunt van de omgeschreven cirkel.

- d(P,A) = d(P,B).

Bissectrice

Een lijn die een hoek in twee deelt.

- 2 gelijke hoeken.

- Middelpunten van de ingeschreven cirkel.

- d(P,a) = d(P,b).

Hoogtelijn

Een loodlijn die uit een hoek komt.

Zwaartelijn

Een lijn vanuit een hoek die de overstaande zijden in twee deelt.

- Oppervlakte aan beiden kanten gelijk.

- Verdelen elkaar in stukken die zich verhouden tot 2:1 (bij 2 zwaartelijnen).

Koordenvierhoek

Een vierhoek met de hoeken in een omgeschreven cirkel.

Cirkel

Alle punten die even ver van het middelpunt zijn.

Raaklijn aan cirkel

Deelt een punt met de cirkel en staat 90 graden op de cirkel.

Omgeschreven cirkel

Een cirkel die alle hoekpunten raakt. Het midden is de snijpunt van de middelloodlijnen.

Ingeschreven cirkel

Een cirkel die alle zijden raakt. Het midden is de snijpunt van de bissectrices.

Parabool

Een parabool heeft een focus en een richtlijn:

- d(P,F) = d(P,r).

- De raaklijn is de bissectrice van hoek FPr.

- De raaklijn is de middelloodlijn van lijn Fr.

 

Stellingen[9]

Gelijkvormigheid ഗ = gelijkvormig (dezelfde hoeken)

Bewijs

Voorbeeld

hh:

Twee hoeken.

zhz:

Een hoek en (de verhouding van) de aanliggende zijden.

zzz:

(De verhouding van) de drie zijden.

zzr:

Een rechte hoek en (de verhouding van) een aanliggende en een overstaande zijden.

 

 

Congruentie

≌ = congruent (dezelfde zijden en hoeken)

Bewijs

Voorbeeld

HZH:

Twee hoeken en de tussenliggende zijden.

ZHH:

Twee hoeken en een overstaande zijden.

ZHZ:

Een hoek en de aanliggende zijden.

ZZZ:

De drie zijden.

ZZR:

Een rechte hoek en een aanliggende en een overstaande zijden.

 

Hoekensom[10]

De som van alle hoeken in een figuur. Een formule hiervoor is n * 180 − 360.

Figuur

Hoekensom

Driehoek

180

Vierhoek

360

Vijfhoek

540

Zeshoek

720

Z- en F-hoeken

Als twee lijnen parallel lopen zijn de hoeken met een derde lijn gelijk. Door de eigenschappen van een gestrekte hoek zijn de twee binnenste hoeken ook gelijk.

Overstaande hoeken

Overstaande hoeken zijn gelijk. 

SOSCASTOA sin(α) = OS cos(α) = AS tan(α) = OA

LET OP : Hiervoor moet de hoek tussen A en O 90 graden zijn. Gebruik anders de (co)sinusregel.

Stelling van Pythagoras

Volgens Pythagoras is er een verband bij een rechthoekige driehoek tussen de zijdes.

a2 + b2 = c2

De stelling van de middelpuntshoek

De omtrekshoek (op de cirkel) is altijd de helft van de middelpuntshoek. Hieruit blijkt ook de stelling van Thales (bij een rechte lijn door het midden is de hoek 90 graden).

De stelling van de constante hoek

 

Alle omtrekshoeken die vanuit dezelfde twee punten op een cirkel komen zijn gelijk.

De stelling van de raaklijn hoek[11]

Bij twee punten op een cirkel en een raaklijn is de hoek A2 is de helft van de middelpuntshoek (hoek M).

Koordenvierhoek

Een koorde vierhoek is een vierhoek met een omgeschreven cirkel. De overstaande hoeken zijn samen 180 graden. Dus CBA+CDA=180 en BCD+BAD=180

 

Boog en koorde

Als de boog (lijnstuk op cirkel) gelijk is dan is de koorde (lijnstuk AB) even lang.

Koorde raaklijn stelling

Bij een raaklijn op een cirkel met daaruit een koorde dan zijn de hoeken gelijk.

Grafische rekenmachine

Oplossen

Decimalen aanpassen

Ga in scratchpad (grafisch) naar :

Menu->(8)Instellingen

Verander hier ‘Cijfers weergeven’ naar het gewenst aantal decimalen.

Polynoom oplossen

Ga in scratchpad (numeriek) naar :

Menu->(3)Algebra->(3)Polynoom-tools->(1)Wortels van polynoom zoeken Stel vervolgens een hoeveelste graad vergelijking het is in (maximale hoeveelheid van een macht)

Hierna vul je alles in en krijg je het antwoord.

N-solve

Voor het oplossen van vergelijkingen nSolve(functie = functie,var)

Var kan gelijkgesteld worden aan een inschatting.

LET OP: deze functie returned maar EEN waarde.

Bijvoorbeeld :

nSolve(2x − 5x = 2x2,x)

N-Derivative

Geeft de afgeleide nDerivative(functie,var)

Var kan gelijkgesteld worden aan een getal om de rc op die plek te krijgen.

Bijvoorbeeld nDerivative(− 5x3 + 3x,x = 4)

Deze functie werkt ook in een grafiek.

Bekijken

Lissajous Figuren

Ga in scratchpad (grafisch) naar :

Menu->(3)Grafiek invoeren/bewerken->(3)Parametervoorstelling

Vul dan de functies voor de X en Y in en geef aan hoelang hij door moet gaan met welke stapgrootte.

 

[1] Samengevat wiskunde B vwo 2016 ​https://goo.gl/mtTvpg

[2] ​http://www.hhofstede.nl/modules/goniovergelijkingen.htm​ & http://www.hhofstede.nl/modules/goniovergelijkingen3.htm 5 ​http://www.hhofstede.nl/modules/exactewaardensinus.htm

[3] ​http://www.hhofstede.nl/modules/sinusoiden.htm

[4] LET OP : niet altijd zo. Soms is er geen y-asymptoot.

[5] Samengevat wiskunde B vwo 2016 ​http://bit.ly/2fyVycD

[5] Samengevat wiskunde B vwo 2016 ​http://bit.ly/2fyVycD

[6] ​http://www.wiskunde123.nl/?a=driehoeken

[7] Leuke extra bron : ​http://www.dr-aart.nl/Meetkunde-vierhoeken.html

[8] ​http://www.hhofstede.nl/modules/lijnenindriehoeken.htm

[9] Samengevat wiskundeB vwo 2016 ​http://bit.ly/2esdb86

[10] ​https://nl.wikipedia.org/wiki/Regelmatige_veelhoek

[11] Samengevat wiskundeB vwo 2016 ​http://bit.ly/2escrjr