Kansrekening: Loterijen

Kansrekening: Loterijen

1 Bij de lotto worden zes balletjes getrokken uit een vaas met 45 ballen. De ballen zijn genummerd van 1 tot en met 45.
a Harry heeft op zijn lotto formulier de getallen 3, 4, 12, 24, 38, en 45 ingevuld. Laat zien dat er 20 manieren zijn om uit deze 6 getallen er 3 te kiezen. Denk hierbij aan rooster.

Wanneer je 6 getallen hebt, dan maak je een rooster van 3 goed, en 3 fout. Dan kom je op 20 manieren. Om het wat duidelijker voor u te maken, maak ik een rooster.

4 10 20

3 6 10
2 3 4
Zoals je ziet zijn er 20 manieren (om naar 3 fout en 3 goed te komen) met een rooster.

b Om drie getallen uit de vorige, niet door Harry gekozen, getallen te kiezen zijn er 9139 mogelijkheden. Toon dat aan met een berekening.

45 ballen - 3 getallen = 39 ballen
Je kunt een rooster maken door horizontaal 3 hokjes te zetten, en verticaal 39 hokjes, maar dat is zo als u weet te veel werk. Dus heb ik een betere optie. Ik heb van u geleerd om de Ncr-toets te gebruiken, en van u mochten we het toepassen, dus gebruik ik het ook!

39 Ncr 3 = 9139
Dus er zijn inderdaad 9139 mogelijkheden.

c Toon aan dat er in totaal 8 145 060 verschillende trekkingen mogelijk zijn.

Ik gebruik hier weer de Ncr-toets.
45 Ncr 6 = 8 145 060 trekkingen.
Dus het klopt inderdaad.

d Als je drie getallen goed hebt, win de laagste prijs. Bereken de kans dat Harry de laagste prijs heeft.

Je neemt een willekeurige manier. Bijvoorbeeld GFGGFF
Dan ga je de kans van die manier berekenen.

(6/45) x (39/44) x (5/43) x (4/42) x (38/41) x (37/40)= 0,0011220298

Maar dan ben je nog niet klaar, want nu heb je de kans op één manier, maar je moet de kans op alle manieren berekenen.
Hoeveel manieren zijn er? Dat had ik al bij 1a berekend, en dar waren er 2o.
Dan doe je:
0,0011220298 x 20 = 0,0224405959 is de kans op de laagste prijs.
e De hoofdprijs heb je als je alle zes getallen goed hebt. Bereken de kans op de hoofdprijs.

Er is maar één volgorde, met maar één manier. Dat is namelijk GGGGGGG, of ook wel alle zes getallen goed. De kans op de hoofdprijs is:

(6/45) x (5/44) x (4/43) x (3/42) x (2/41) x (1/40) = 1,198506182 x 10-7
Of ook wel: 0,0000001198506182

2 Op Curaçao is er elke dag een trekking van de loterij Wega di Number Korsou. Bij deze getallen wordt een trekking verricht van drie getallen bestaand uit 4 cijfers. Het eerste getal levert de eerste prijs, het tweede getal de tweede prijs en het derde getal de derde. Je kunt loten kopen van twee cijfers van drie cijfers of vier cijfers. Bij een lot van twee cijfers tellen alleen de laatste twee cijfers van de getrokken getallen. Bij een lot van drie cijfers de laatste drie cijfers.
a Je koopt en lot van twee cijfers. Leg uit waarom de kans dat je een prijs wint ongeveer 0,03 is.


Eerste prijs: (1/10) x (1/10) = (1/100)
Tweede prijs: ((1/10) x (1/10) =(1/100)
Derde prijs: ((1/10) x (1/10) =(1/100)
Dat allemaal bij elkaar opgeteld: (3/100)= 0,03

b Hoe groot is de kans op een prijs van 10 keer je inzet?

Dat kan alleen bij de 3e prijs en met 2 cijfers.
Dat is net als bij 2a) gewoon (1/100) = 0,01

c Bereken de kans dat je de eerste prijs wint bij een lot van drie cijfers.

(1/10) x (1/10) x (1/10)= 0,0001
Dus de kans op de eerste prijs bij drie cijfers = 0,0001

d En de kans dat je een prijs wint bij een lot van 4000 keer je inzet?

Dat komt ook maar één keer voor, namelijk bij de eerste prijs met vier cijfers. de berekening ziet er als volgt uit:

(1/10) x (1/10) x (1/10) x (1/10) = 0,00001
Dus de kans op een prijs van 4000 (wanneer je inzet 1gulden is)= 0,00001

3 Wat is de kans op de hoogste en de laagste prijs bij beide partijen?


Lotto: hoogste= 0,0000001198506182
laagste= 0,0224405959

Korsou: hoogste= 0,00001
laagste= 0,001
Eigen onderzoek
Vergelijk de beide loterijen met de staatsloterij of postcodeloterij.
Daarnaast kun je ook een vergelijking maken met een zelf gekozen loterij.

Ik heb er voor gekozen om zelf een loterij te maken, dat is meer origineler en leerzamer.
Mijn loterij heet Tammylotto® .
De trekking is iedere week om 18:00 uur te zien op tv. Bij deze loterij wordt er
3 getallen bestaand uit 2 cijfers getrokken.
Bij de 1ste getal met 2 cijfers goed win je de hoofdprijs (een reis van 3 weken)
Bij de 1ste getal met 1 cijfer goed win je de tweede prijs(vakantie naar Hawaï)
Bij het tweede getal met twee cijfers goed, win de derde prijs(een scooter)

Bij het tweede getal met 1 cijfer goed win je de vierde prijs(een fiets)
Bij het derde getal met twee cijfers goed win je een chequeprijs van 100 euro
Bij het derde getal met 1 cijfer goed win je een troostprijs(een gratis lot)

→ Plan maken
Hoe kun je de kansen op de laagste en hoogste prijs berekenen?

Dan moet je eerst kijken hoe veel cijfers je hebt, want als twee cijfers hebt dan bereken je de kans met twee cijfers, door ze met elkaar te vermenigvuldigen. Net als bij opgave2
Waar kun je de nodige gegevens vinden?

Dit is een zelfbedacht plan, het is origineel, dus zijn zoekmachines niet van belang.
Met iets eigens is een zoekmachine zinloos.

→Plan uitvoeren
Wat is de laagste prijs die je kunt winnen?

Dat is de derde prijs, wanneer je 1 cijfer goed hebt. De laagste prijs is dan een gratis lot.
Hoe groot is de kans op de laagste prijs?

Dat is (1/10) = 0,1
Hoe groot is de kans op de hoogste prijs?

Dat is (1/10) x (1/10) = (1/100) = 0,01

→Conclusie


Vergelijk de loterijen met elkaar. Bij welke loterij is de kans op de laagste prijs het grootst?
Bij de Lotto, en dan komt de Tammylotto® , en dan komt de Korsou.
Bij welke is de kans op de hoogste prijs het grootst?
Bij de Tammylotto®, en dan de Korsou, en als laatste de Lotto.
Voor welke loterij zou jij kiezen?
Ik persoonlijk zou kiezen voor de Tammylotto, Daar heb je echt een grote kans om te winnen, jammer dat hij niet echt bestaat. Misschien een ideetje voor later?