Pythagoras

Inleiding

Dit werkstuk gaat over Pythagoras, een Griekse wijsgeer die leefde omstreeks 550 v. Chr. Een filosoof die zich ook met wiskunde en astronomie bezighield. Zo was hij één van de uitvinders van de stelling van pythagoras, waar hij het meest bekend mee is geworden. Eerst ga ik wat over zijn leven vertellen, dan over de stelling, en dan bewijzen dat de stelling helemaal klopt. De stelling geldt voor een rechte driehoek; a2+b2=c2 . Dan ga ik wat over andere Oud Griekse wiskundigen vertellen, die ook veel invloed hebben gehad; Thales, Eudoxus, Euklides, Apollonius, Archimedes, Heroon, Diophantos en Hypatia.

Het leven van Pythagoras

Pythagoras was een Griek uit de oudheid, die in de alledaagse wiskunde nog steeds een zeer belangrijke plaats inneemt. Hij werd geboren op het Griekse eiland Samos. Samos is een eiland dat ligt in de Egeïsche Zee. Het ligt nog geen anderhalve kilometer van de grens van Turkije. Het plaatsje waar hij geboren werd heet tegenwoordig Pythagorion. Op het eiland staat nu nog een standbeeld, dat ter ere van hem is opgericht. In het onderschrift van het standbeeld staat in Griekse hoofdletters zijn naam gegraveerd en daaronder in Arabische cijfers het tijdperk aangegeven, waarin hij waarschijnlijk leefde; van 580 tot 496.

Pythagoras’ vader was de koopman Mnesarchus uit Tyrus. Volgens de legende bracht hij graan naar de stad Samos toen daar hongersnood heerste, en kreeg daarvoor het burgerrecht. Pythagoras' moeder was Pythais uit Samos. Waarschijnlijk had hij twee of drie broers. Hij leefde in een familie van stand en heeft een brede opvoeding gehad; in zijn jeugd kreeg Pythagoras een goede opleiding; hij kreeg o.a. lessen in filosofie, van de filosoof Pherekydes, lierspel en poëzie. Verder werd hij sterk beïnvloed door de filosofen Thales en Anaximander, die beiden in die tijd in Milete woonden. Door lessen van Anaximander in Thales’ filosofie werd Pythagoras’ interesse in wiskunde en astronomie gewekt. Met zijn vader maakte hij verschillende reizen.
Pythagoras heeft zijn stelling min of meer bij toeval ontdekt. Tijdens één van zijn reizen werd hij eens uitgenodigd door een rijke koopman. Terwijl Pythagoras zat te wachten tot hij binnen gelaten werd, zat hij naar de tuin te kijken. Hij zag een driehoekig grasveldje, met vierkanten tegelpleintjes er om heen:

Opeens viel hem iets op:
De twee kleinere pleintjes hadden samen precies evenveel tegels als het grote plein:

Het kleinste pleintje heeft 3x3 = 9 tegels.
Het linker plein heeft 4x4 = 16 tegels.
Het grootste plein heeft 5x5 = 25 tegels.
En 9 + 16 = 25.
Als je nu naar de groene driehoek kijkt herken je hier de stelling van Pythagoras al in:
3x3 + 4x4 = 5x5

Terug van zijn reis in Samos maakte hij tekeningen met verschillende driehoeken en tegelpleintjes.
Het viel hem op dat het lang niet altijd zo was dat de twee kleine pleintjes evenveel tegels hadden als het grote plein.
Bij een andere vorm driehoek kreeg hij bijvoorbeeld:

En klopte de stelling dus niet. Uiteindelijk kwam hij erachter dat de regel alleen gold als hij met een rechthoekige driehoek begon.
Toen was hij dus in Samos, terug van zijn reis. Kort daarna reisde hij naar Croton in Zuid-Italië om een kolonie te stichten. In Croton richtte Pythagoras een filosofische en religieuze gemeenschap op. De kern van deze gemeenschap werd gevormd door de "mathematikoi". Zij werden onderwezen door Pythagoras zelf en volgden strenge leefregels.

De basis van de filosofie van de gemeenschap werd door Pythagoras in enkele "geloofsaxioma's" samengevat:
• Op het diepste niveau is de werkelijkheid wiskundig van aard.
• Filosofie kan gebruikt worden om geestelijke zuiverheid te bereiken.
• De ziel kan zich verheffen tot eenheid met het goddelijke.
• Bepaalde symbolen (bijvoorbeeld getallen) hebben een geloofswaarde.
• Alle leden moeten de gemeenschap volledige trouw en geheimhouding zweren.

Binnen de gemeenschap van de Pythagoreërs (volgelingen van Pythagoras) werkte men vooral aan filosofie en wiskunde. Een van de belangrijkste punten uit het wereldbeeld van Pythagoras was bijvoorbeeld dat alles een getal was. Zo was het getal 2 de man en 3 de vrouw; logischerwijs stelde 5 = 2 + 3 dan het huwelijk voor.

Een ander belangrijk punt uit de filosofie van Pythagoras was de overtuiging dat de ziel onsterfelijk was en na de dood overging in een ander lichaam. Dat hoefde niet noodzakelijk dat van een mens te zijn. Pythagoras was dan ook een grote tegenstander van het eten van vlees - volgens zijn filosofie was het dan immers mogelijk om je eigen grootouders op te eten!
Vanwege de vijfde bepaling (absolute trouw en geheimhouding) is niet bekend hoeveel werken van de groep uit Croton werkelijk van Pythagoras zelf zijn. Aan de ene kant werd alles aan de grote meester toegeschreven, aan de andere kan is er geen enkel geschrift van hem bekend, als hij het al ooit gemaakt heeft.
Het ontzag binnen de groep voor de grote meester was zelfs zo groot, dat het argument "autos epha" (Grieks) of "ipse dixit" (Latijn), wat "hij heeft het zelf gezegd" betekent, als absoluut overtuigend werd beschouwd.

Er zijn geen boeken of geschriften van Pythagoras zelf bekend. Omdat zijn ‘school’ geheimhouding en sterke samenwerking benadrukte, is er geen onderscheid te maken tussen zijn werk en dat van zijn volgelingen.
Werken van de Pythagoreërs zijn:
• Het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen twee rechte hoeken vormen, evenals de uitbreiding van deze stelling: van een veelhoek met n zijden is de som van de binnenhoeken gelijk aan die van 2n - 4 rechte hoeken.
• Het construeren van figuren met een gegeven oppervlakte en een soort van meetkundige algebra. (Wat wij nu vergelijkingen noemen losten zij meetkundig op.)
• De ontdekking van de irrationale getallen: getallen die niet als breuk zijn te schrijven, zoals de wortel van 2.
• De vijf regelmatige lichamen: tetraëder (regelmatig viervlak), kubus, octoëder (regelmatig achtvlak); dodecaëder (regelmatig twaalfvlak); isocaëder (regelmatig twintigvlak).

• In de astronomie leerden ze dat de aarde een bol was in het centrum van het heelal, dat de baan van de maan een hoek maakte met de evenaar en dat Venus de morgenster dezelfde plannet was als Venus de avondster.
Pythagoras en zijn aanhangers hebben een belangrijke invloed uitgeoefend op het openbare en het politieke leven van die tijd, maar zijn daarbij ook op krachtig verzet gestuit; tegen het eind van zijn leven moest Pythagoras Croton verlaten en een paar decennia later vond een algehele opstand tegen zijn aanhangers plaats.

De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras is een formule die door Pythagoras bedacht is. De stelling is dus naar hem vernoemd, terwijl die 1000 jaar voordat Pythagoras hem ontdekte al gebruikt werd door de Babyloniërs. Alleen die konden de stelling niet bewijzen en Pythagoras wel.

In de rechthoekige driehoek BC zijn de zijden a en b de rechtshoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.


De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de rechtshoekzijden."

Anders geformuleerd:

a2+b2=c2

Bewijs van de stelling

Hier volgen enkele bewijzen dat de stelling van Pythagoras klopt. De 6 gele driehoeken en de roze driehoek zijn allen even groot. In het plaatje hiernaast kun je twee even grote vierkanten onderscheiden: het linker grote vierkant en het rechter grote vierkant. Ze lopen in elkaar over. Als je uit zowel het linker vierkant als het rechter vierkant 3 gele driehoeken knipt, blijven de roze driehoek en de 3 rode vierkanten (de kwadraten van de zijden van de roze driehoek) over. De oppervlakte van de 2 overgebleven figuren (nadat je de 6 gele driehoeken hebt weggeknipt) is nog steeds gelijk. Dat betekent dat de oppervlakte van de 2 kleinste rode vierkanten samen gelijk is aan de oppervlakte van het grootste rode vierkant, oftewel A2+B2=C2.
Dit figuur heb ik ook in het echt gemaakt en bijgevoegd.

De figuur hiernaast: om te bewijzen dat het kleine groene vierkantje (=zijde A in het kwadraat) en het grote groene vierkant (=zijde B in het kwadraat) samen even groot zijn als zijde C in het kwadraat, verleg je de gele driehoeken. De grote groene ruimte die dan ontstaat (=zijde C in het kwadraat) is even even groot als de twee kleinere groene vierkanten.
Dit figuur heb ik ook in het echt gemaakt en bijgevoegd.

Deze figuren tonen aan dat de twee gele vierkanten die de twee rechte zijdes van de driehoek in het kwadraat zijn, in het grote blauwe vierkant (schuine zijde in het kwadraat) passen.

Dit figuur heb ik ook in het groot gemaakt en bijgevoegd.

Andere Griekse wiskundigen

Naast Phytagoras zijn er nog veel meer andere bekende Griekse wiskundigen/filosofen/astronomen.

Te beginnen met Thales. Hij leefde van 624 tot 547 v. Chr. Hij was een Oud Griekse filosoof uit Milete, die wordt gezien als de eerste natuurwetenschapper en wiskundige. Van zijn werk is niets bewaard gebleven. Hij was zo bekend dat latere filosofen veel over hem geschreven hebben, en zijn ideeën en kennis overnamen. Dit zijn er enkele:
- de aarde is een schijf die in een oneindige oceaan drijft
- hij had een methode om een zonsverduistering te voorspellen
- hij bedacht dat alles oorspronkelijk uit water bestaat
- hij kon via de schaduw de hoogte van een piramide meten
- hij kon de afstand van een schip tot aan de kust meten

enkele stellingen uit de vlakke meetkunde zijn aan hem toegeschreven:
1. een cirkel wordt door elke diameter in twee gelijke stukken verdeeld
2. de basishoeken van een gelijkbenige driehoek zijn gelijk
3. de overstaande hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk
4. twee driehoeken zijn congruent als ze twee hoeken en een zijde gelijk hebben

5. elke omtrekshoek op de middellijn van een cirkel is een rechte hoek

Via zijn leerling Anaximander stichtte hij de Milesische School, een groep filosofen die zich volgelingen van Thales noemen. Zij worden beschouwd als de grondleggers van de Westerse filosofie.
Omdat alles wat van Thales overgebleven is, opgeschreven is door anderen, is niet met zekerheid te zeggen dat hij alles zelf heeft bedacht. Zo zou hij bijvoorbeeld zijn wiskundige kennis hebben opgedaan, tijdens één van zijn reizen in Egypte, waar die kennis al bestond.

Eudoxus was een Griekse wiskundige uit Turkije, hij woonde in de stad Cnidos. Hij leefde van 408 tot 355 v. Chr. In zijn jeugd studeerde hij bij de Pythagorëers, en studeerde enkele maanden bij Plato in Athene. Ook leerde hij astronomie van de priesters van de farao in Egyptische Heliopolis.
Toen hij ouder werd, stichtte hij een school in de stad Cyzicos in Klein-Azië. Hij werd heel populair.
Uiteindelijk keerde hij terug naar zijn geboortestad Cnidos waar hij een baan in het stadsbestuur kreeg. Hij bleef daarnaast veel van zijn ideeën over wiskunde en astronomie publiceren. Hij bleef dat doen tot zijn dood.

Veel van zijn wiskundige werk is terug te vinden in “De elementen” van Euklides. Het belangrijkste daarvan is:
- de uitputtingsmethode; een manier om de oppervlakte en de inhoud van allerlei voorwerpen te
berekenen
- de theorie van verhoudingen, hij ontwikkelde een methode om hele getallen binnen een bepaalde verhouding te berekenen, in die tijd werd er nl. alleen maar met hele getallen gewerkt
- de verdubbeling van de kubus

Verder hield Euxodus zich bezig met de astronomie. Hij bouwde bij Cnidos een observatorium waar vandaan hij de ster Canopus bestudeerde. Op grond van zijn waarnemingen schreef hij boeken over astronomie, o.a. De Spiegel, Phaenomena en Over Snelheid. Hij had bij de Pythagoreërs geleerd dat de planeten als boloppervlakken ten opzichte van elkaar om de aarde heen draaiden.

Euxodus heeft ook een boek over geografie geschreven, dat “Een tocht om de aarde” heette. Het boek bestond uit zeven delen waarin verschillende volkeren werden beschreven, hun geschiedenis, politieke systeem en achtergronden. Het boek is kwijtgeraakt, maar wordt in andere oude geschriften regelmatig aangehaald.


Euklides was een Griekse wiskundige die omstreeks 300 v. Chr. leefde. Over zijn leven is niet zoveel bekend. Hij werkte als pensionaris van het Museum van Alexandrië en leefde dus op kosten van Koning Ptolemeos I “Soter”, een strijdgenoot van Alexander de Grote en na zijn dood, de koning van Egypte. Alle kennis van de Griekse tijd was in de grote Bibliotheek van Alexandrië beschikbaar.

Euklides besteedde veel van zijn tijd aan het maken van een overzicht van de toen bekende wiskunde. In dertien boeken, die bekend staan als “De elementen van Euklides”. Daarin werd vanuit vijf vaste aannames alle wiskunde systematisch afgeleid. Tweeduizend jaar lang was dit één van de belangrijkste prestaties van de mensheid.

“De elementen van Euklides” is in het Nederlands vertaald door prof. Dijksterhuis.

Apollonius van Perga leefde van 262 tot 190 v. Chr. en was een Griekse wiskundige, die bekend stond als ‘de grote geometer’, de grote meetkundige. Er waren nog veel meer andere Griekse geleerden met die naam. Hij werd geboren in Perga, een Oud Griekse stad in het huidige zuiden van Turkije. Hij studeerde in Alexandrië, bij de opvolgers van Euklides. Later was hij zelf aan de grote school van Alexandrië verbonden, hij gaf er zelf les en werkte aan zijn theorieën over kegelsneden.

Zijn werk had een grote invloed op de ontwikkeling van de wiskunde. Vooral zijn boek ‘Kegelsneden’ waarin de begrippen parabool, hyperbool en ellips werden geïntroduceerd, is heel erg bekend geworden. Hij beschreef de cirkel, de ellips, de parabool en de hyperbool als doorsnijdingen van een vlak met een (dubble) kegel en leidde de belangrijkste eigenschappen van deze vlakke krommen af. Later paste hij deze kennis toe op de bewegingen van de hemellichamen.

Uit de voorwoorden van de boeken die Apollonius schreef bleek dat hij Pergamon heeft bezocht, een Oud Griekse stad bij het huidige Izmir in Turkije. Daar stond een universiteit met een bibliotheek die vergelijkbaar was met die in Alexandrië. Hij ontmoette er Eudemus, die benieuwd was naar Apollonius’ werk over kegelsneden. En hij had een zoon die ook Apollonius heette. En hij stelde de meetkundige Philonides voor aan Eudemus.

Apollonius paste zijn theoriën over kegelsneden toe op de beweging van de planeten langs de aarde. Daarmee was hij een belangrijke voorloper van de Griekse wiskundige astronomie. De grote astronoom Ptolemaios noemde Apollonius als degene die combinaties van draaiende cirkels gebruikte om de beweging van de hemellichamen te verklaren. Hij was niet de uitvinder van deze theorie, maar leverde er wel een belangrijke bijdrage aan. Ook ontwierp hij de ‘hemicyclium’, een zonnewijzer waarbij hij gebruik maakte van kegelsneden om de nauwkeurigheid van de tijdmeting te verbeteren.

Een andere Griekse wiskundige was Archimedes, hij was ook een natuurkundige en leefde van 287 tot 212 v. Chr. in Syracuse op Sicilië, en was waarschijnlijk een familielid van de tiran van Syracuse Hieroon II. Hij werd door de Romeinen vermoord tijdens de verovering van Syracuse. In zijn jeugd studeerde hij wiskunde bij opvolgers van Euklides in Alexandrië en was al tijdens zijn leven een beroemdheid. Vooral vanwege zijn uitvindingen; voor koning Hieroon bedacht hij wapentuigen ter verdediging van Syracuse, tegen de Romeinen. Hij vond de schroef van Archimedes uit, een apparaat voor het oppompen van water. Zelf was hij vooral geïnteresseerd in zuivere wiskunde, met name de meetkunde en natuurkunde. Het bekendst is hij tegenwoordig door de wet van Archimedes; over voorwerpen die in vloeistof zijn ondergedompeld.

Er zijn nog een aantal werken van hem bewaard gebleven:

- ‘Over evenwicht in het platte vlak’
- ‘De kwadratuur van de parabool’
- ‘Over de bol en de cilinder’
- ‘Over spiralen’
- ‘Over conoïden en sferoïden’
- ‘Over drijvende lichamen’
- ‘Het opmeten van de cirkel’
- ‘De zandrekenaar’
- ‘De methode’, waarin hij beschreef hoe hij op zijn ideeën kwam

Er zijn waarschijnlijk ook andere werken van Archimedes geweest. Latere wetenschappers verwijzen ernaar. Drie beroemde wiskundigen, Heroon, Pappos en Theoon uit Alexandrië hebben zijn werken veel aangehaald. Maar verder duurde het tot de zesde eeuw na Chr. voordat Eutocius enkele van die werken (met commentaren) weer gebruikte. Archimedes’ werken waren heel helder van uitleg en daarom goed bruikbare voorbeelden van wiskundige methodes.

Rond 10 v. Chr. tot 75 na Chr. leefde Heroon, (ook vaak Hero genoemd) een Griekse ingenieur en wiskundige uit Alexandrië. Hij is vooral beroemd geworden om zijn beschrijving van uitvindingen en technische reken methodes. Over zijn leven is bijna niets bekend. Een groot deel van zijn geschriften is via vertalingen en met commentaren overgebleven. Het gaat hier om boeken die jarenlang als handleidingen bij allerlei berekeningen werden gebruikt in de Romeinse, Byzantijnse Arabische beschaving. Als wiskundige is hij vooral bekend vanwege zijn formule voor het verband tussen de (halve) omtrek en de oppervlakte van een driehoek. Handig als je van een driehoek alleen nauwkeurig de zijden kan bepalen. Dit is vooral goed toepasbaar in de landmeetkunde. Heroon was dan ook een belangrijke grondlegger van de landmeetkunde. Hij stond ook bekend als een goed onderlegde en soms ingenieus toegepaste wiskundige. En fungeerde als een belangrijke schakel tussen de Oud Griekse en Babylonische wiskunde en de latere Hindoe-Arabische wiskunde.


Heroons belangrijkste werken op het gebied van de wiskunde zijn:
- de Dioptra, een boek over landmeetkunde
- de Metrica, drie boeken over methodes van meten en berekenen van oppervlaktes
- de Pneumatica, twee boeken over mechanische apparaten gebaseerd op luchtdruk, stoom of waterdruk
- de Automaton, die een geheel mechanisch poppentheater beschrijft
- de Belopoeica, waarin wordt beschreven hoe je wapentuigen kan maken
- de Mechanica, die grotendeels gebaseerd is op werk van Archimedes
- Catoprica, hierin vertelt Heroon zijn theorie over het licht.

Diophantos was een Griekse wiskundige die leefde in Alexandrië rond 200 tot 284 na Chr. Over zijn leven is bijna niets bekend, wanneer hij leefde is ook niet helemaal zeker. Hij leefde en werkte in Alexandrië voordat Theon en zijn dochter Hypatia er bekende wiskundigen waren (na 350). Zij schreven commentaren op het werk van Diophantus. De meeste details over Diophantus’ leven zijn te vinden in een raadsel uit een raadselboek dat werd samengesteld door Metrodorus rond het jaar 500: …zijn jeugd duurde 1/6 deel van zijn leven, hij trouwde na nog eens 1/7 deel; zijn baard groeide na weer 1/12 deel en zijn zoon werd 5 jaar daarna geboren; die zoon leefde de helft van zijn vaders leven en de vader stierf 4 jaar na de zoon. Hij trouwde dus toen hij 26 was en had een zoon die op 42 jarige leeftijd stierf, vier jaar voor de dood van Diophantus zelf op 84 jarige leeftijd.

Diophantus is bekend geworden door zijn boek ‘Arithmetica’ waarin hij 130 wiskundige problemen beschreef die leiden tot een vergelijking. Van elk probleem gaf hij de oplossing. Op grond daarvan wordt hij ook wel ‘de vader van de algebra’ genoemd.


Hypatia was de eerste vrouw die als wiskundige bekend is geworden. Ze leefde van 370 tot 415 na Chr. Ze was de dochter van de wijsgeer en wiskundige Theoon van Alexandrië. Hij bracht haar de beginselen van de wiskunde en filosofie bij. Rond 400 werd ze het hoofd van de beroemde neoplatische school in Alexandrië, waar ze les gaf in wiskunde en filosofie. Met name de filosofie van Plotinus die de ideeën van de beroemde Griekse wijsgeer Plato weer opnieuw tot leven bracht, het neoplatonisme.

Samen met haar vader werkte ze aan het herzien en opnieuw uitgeven van beroemde wiskundige werken zoals ‘De Elementen’ van Euklides en de ‘Arithmetica’ van Diophantus. De Elementen van Euklides werd verbeterd; er werden niet veel nieuwe stellingen toegevoegd, maar er werden veel onduidelijkheden beter uitgelegd. Deze vernieuwde versie werd later veel gebruikt als leerboek. Ook gaf ze commentaar op de ‘Alamagest’ van Ptolemaios, en op het boek over kegelsneden van Apollonius en sterrenkundige werken van Ptolemaios. Maar bijna al haar werk is verloren gegaan. Ze wordt nu vooral gezien als een uitstekende samensteller en herschrijver van vroegere wiskundige werken.

Door haar schoonheid en geleerdheid werd Hypatia in het het hele Romeinse Rijk beroemd. Alleen de fanatieke Christenen zagen haar als een gevaar, ze waren bang voor haar onafhankelijke en wetenschappelijke opstelling. En dat terwijl ze ook wel leerlingen had die Christelijk waren. Onder andere Synesius van Cyrene, die later bisschop werd. In 412 werd Cyrillus de patriarch van Alexandrië. In die tijd was Orestes de Romeinse prefect van Alexandrië en dus de wereldheerser (onder de Romeinse Senaat). Orestes kwam met Cyrillus in een machtsstrijd terecht en ze werden vijanden van elkaar. Hypatia was bevriend met Orestes en werd daardoor en door haar wereldse ideeën het mikpunt van rellen tussen Christenen en niet Christenen. Het werd zelfs zo erg dat fanatieke Christenen die Cyrillus steunden haar vermoordden. Verschillende geleerden verlieten Alexandrië daarna, om zich ergens anders te vestigen. Alexandrië was hierdoor niet de stad meer, die bekend stond om zijn wetenschapsbeoefening.

Samenvatting

Phytagoras was dus een wijze, slimme, geleerde man, die met zijn volgelingen, de Pythagoreërs, veel wiskundige bijdragen heeft geleverd. Ik heb de stelling van Pythagoras (a2+b2=c2) toegepast, om te bewijzen dat hij klopte, en het klopte. Hij is één van de vele bekende Oud Griekse geleerden die door hun uitvindingen op verschillende wetenschappelijke gebieden en filosofische instellingen vroeger al, en nu nog steeds veel invloed hebben.