Onderwerp: Wiskundigen uit de 17e eeuw.
Deelvragen:
1 Welke wiskundigen leefden in de 17e eeuw?
2 Hoe losten Pascal en Fermat het probleem van Da Meré op?

1 Welke wiskundigen leefden in de 17e eeuw?

Van links naar rechts: Gottfried Wilhelm Leibniz, Pierre de Fermat, René Descartes, Johan de Witt, Isaac newton, Christiaan Huygens en Blaise Pascal.

Gottfried Wilhelm Leibniz.
Hij werd geboren in Leipzig. Hij ontwikkelde samen met (maar onafhankelijk van) Isaac Newton een tak van de wiskunde die bekend staat als de 'calculus' (differentiaal- en integraalrekening). Hij staat te boek als een voorloper van de Duitse Verlichting, de Aufklärung.
Zijn vader, Friedrich Leibnutz, was verbonden aan de filosofiefaculteit van de universiteit van Leipzig. Leibniz, die zijn naam veranderde, was nog maar zes toen zijn vader overleed. Maar op die leeftijd had de jonge Gottfried al een passie ontwikkeld voor lezen en studeren. Hij leerde Latijn en bestudeerde zijn vaders bibliotheek, die vol stond met Latijnse klassiekers, filosofische en religieuze werken.
In 1661, toen Leibniz 15 was, betrad hij de universiteit van Leipzig om filosofie te studeren. In de zomer van 1663 maakte hij kennis met elementaire algebra en Euclidische meetkunde op de universiteit van Jena. Hier begon hij zijn ideeën van een universeel 'alfabet van de menselijke gedachten' te ontwikkelen. Hierin probeerde hij menselijke gedachten vorm te geven door middel van een voor iedereen begrijpelijke tekentaal van symbolen.
Hij haalde zijn graad in 1664. Zijn dissertatie voor de graad van doctor in de rechten werd geweigerd. De reden daarvoor was waarschijnlijk vanwege zijn leeftijd, maar misschien ook politieke problemen. Hierom verliet hij Leipzig en kreeg hij deze graad op twintigjarige leeftijd aan de universiteit van Altdorf in Neurenberg.
Hierna kwam hij in dienst van de keurvorst van Mainz. (Mainz was een van de kleine staatjes waarin Duitsland destijds was opgedeeld). Gedurende de rest van zijn leven bekleedde hij verscheidene belangrijke posities.
Leibniz streefde zijn hele leven naar harmonie op zoveel mogelijk fronten. Behalve zijn monadenleer en zijn tekentaal trachtte hij tevens zoveel mogelijk wetenschappers tot samenwerking te bewegen. Hij stichtte (min of meer) de Berlijnse Academie van Wetenschappen en ondernam ook pogingen om alle christelijke kerken nader tot elkaar te brengen.
In 1671 bouwde hij een mechanische rekenmachine die kon vermenigvuldigen en delen. (In 1642 had Pascal de eerste mechanische rekenmachine gebouwd, waarmee men kon optellen en aftrekken.) Vanaf 1676 tot aan zijn dood was Leibnitz bibliothecaris van Hannover. In 1682 richtte hij samen met Otto Mencke het wetenschappelijke tijdschrift Acta Eruditorum op, dat in die tijd naast het Journal des Savants een ruime verspreiding kende. De meeste van zijn artikelen werden dan ook in de Acta Eruditorum gepubliceerd.

Pierre de Fermat
Fermat werd geboren in Beaumont-de-Lomagne (Frankrijk) als zoon van Pierre Fermat, een vermogend handelaar in leder en tweede consul van Beaumont-de-Lomagne.
In zijn jeugd studeerde hij aan de universiteit van Toulouse. In de tweede helft van de jaren 1620 verhuisde hij naar Bordeaux, waar hij zijn eerste grote stappen zette in onderzoek in de wiskunde. Fermat ging vervolgens naar Orléans, waar hij rechten studeerde. Hij verkreeg een graad in het burgerlijk recht en werd staatsambtenaar in Toulouse. Vanwege zijn positie veranderde hij zijn naam in Pierre de Fermat. Hij was dus in eerste plaats jurist. Wiskunde was voor hem slechts een hobby.
Fermat correspondeerde veel met de bekende filosoof en wiskundige Descartes. Ook met andere bekende wiskundigen onderhield hij contacten. Zijn grote interesse in getallenleer en de moeilijke problemen die hij daarin aanhaalde - meestal bedrieglijk eenvoudig geformuleerd -, maakte hem echter niet steeds geliefd omdat hij de oplossing meestal voor zich hield. Zijn beroemdste uitdaging is de laatste stelling van Fermat. De Britse wiskundige Andrew Wiles leverde in de jaren 1993-1995 het bewijs voor deze stelling.
Ook met Christiaan Huygens had hij vanaf 1656 contact, dat gegroeid was uit de interesse van Huygens voor de waarschijnlijkheidsleer. Fermat trachtte echter de communicatie tussen hen beiden in de richting van de getallenleer te sturen. Dit onderwerp interesseerde Huygens echter niet. Om deze laatste te winnen voor dit onderwerp onthulde Fermat meer van zijn theorieën dan hij ooit aan anderen had bekendgemaakt.
Fermat overleed in Castres (Frankrijk) op 12 januari 1665.

René Descartes
Descartes werd geboren in La Haye en Touraine (nu Descartes) in Frankrijk. Hij was het derde kind van Joachim Descartes (2 december 1563 – 17 oktober 1640) en Jeanne Brochard (? – 13 mei 1597). Hij had een oudere zus Jeanne (over wie geen gegevens bekend zijn), een broer Pierre (19 oktober 1591 – 1660) en een halfzus Anne (1611 – ?) uit het tweede huwelijk (1600) van zijn vader met Anne Morin (2 september 1579 – 19 november 1634). Zijn vader was advocaat en magistraat in Rennes. Een jaar na zijn geboorte stierf zijn moeder en René sukkelde nogal met zijn gezondheid.
Toen hij 8 jaar oud was stuurde zijn vader hem naar de Jezuïeten voor een klassieke opleiding. Vanwege zijn slechte gezondheid liet de rector hem uitslapen tot hij zich fit genoeg voelde om de lessen bij te wonen. Deze gewoonte om lang te slapen heeft zijn hele leven gehouden. Descartes studeerde rechten aan de universiteit van Poitiers. Hij bracht zijn tijd vooral door met schermen, vrouwen en gokken.
In 1618 vertrok hij naar Nederland waar hij zich aansloot bij het leger van Prins Maurits. In Breda raakte hij bevriend met Isaac Beeckman, een Nederlandse filosoof en wiskundige, met wie hij verschillende jaren samenwerkte. Descartes bleef soldaat: hij werd vrijwilliger in het leger van hertog de Bucquoy in Bohemen (Dertigjarige oorlog) maar bleef wiskunde studeren. Zijn belangrijkste reden om aan de oorlog deel te nemen was om de wereld en de mensen beter te leren kennen. In de nacht van 10 november 1619 kreeg hij te Ulm (Neuberg) drie belangrijke dromen. Uit deze dromen ontsproten zijn eerste ideeën voor een nieuwe filosofie en voor de analytische meetkunde. In 1620 nam hij ontslag bij het leger.
Van 1620 tot 1628 reisde Descartes door Europa. In Frankrijk kwam hij daarbij in contact met de wiskundige Marin Mersenne. In die tijd had hij ook contact met Kardinaal de Berulle, die hem overreedde zijn gedachten verder uit te werken. Vanaf 1628 vestigde hij zich weer in de Lage Landen waar hij in verschillende steden woonde, waaronder Franeker, Harderwijk, Deventer, Utrecht, Leiden, Amersfoort, Amsterdam, Leeuwarden, Endegeest (kasteel in Oegstgeest), en uiteindelijk voor langere tijd in Egmond.

Hij maakte er een gewoonte van om zijn verblijfplaats alleen aan enkele vrienden bekend te maken. In Holland maakte hij diverse wetenschappelijke vrienden. Mede op aandringen van deze vrienden publiceerde hij er zijn Discours de la méthode, waarin hij de in die tijd nog altijd gangbare filosofie van Aristoteles en de scholastiek verwierp en volhield dat alle echte kennis op de wiskunde moet worden gebaseerd. Bovendien paste hij de algebra toe op meetkundige vraagstukken, door het rechthoekig assenstelsel in te voeren, waarmee meetkundige objecten konden worden beschreven met getallen en vergelijkingen. Jan Lievens tekende zijn portret.
In 1648 ging Descartes op verzoek van koningin Christina van Zweden naar Stockholm. Hij liep daar een longontsteking op waaraan hij in 1650 overleed, volgens tijdgenoten doordat hij niet gewend was aan het koude klimaat en aan het vroege opstaan waar de koningin hem toe dwong. Hij stierf er in het koninklijk paleis en werd, na korte tijd in Zweden begraven te zijn geweest, herbegraven in een tombe van het Panthéon te Parijs in 1667.

Johan de Witt
Johan de Witt was de zoon van de houthandelaar Jacob de Witt en Anna van den Corput. Hij volgde zijn opleiding bij Isaac Beeckman op de Latijnse school in Dordrecht, die later naar hem vernoemd is. Hij studeerde vanaf 1641 rechten aan de Universiteit van Leiden. In 1645 reisden hij samen met zijn broer Cornelis door Italië, Frankrijk, Zwitserland en Engeland, vervolgens vestigde Johan zich in Den Haag als advocaat.
Vanaf 1653 was De Witt raadspensionaris van Holland, dat was omdat Dordrecht als oudste stad in Holland de meeste rechten had om een kandidaat te leveren. Onder zijn leiding werd in 1654 vrede met Engeland gesloten waarbij De Witt een geheime Akte van Seclusie liet opnemen die het De Republiek verbood de zoon van stadhouder prins Willem II als stadhouder aan te stellen. Nederland ging in het Eerste Stadhouderloos Tijdperk een welvarende periode tegemoet, maar niet zonder machtsvertoon en oorlogen. Jaarlijks werd een kleine expeditie uitgezonden tegen de Algerijnse zeerovers.
Nadat hij bij de dochter van Nicolaes Tulp een blauwtje had gelopen, trouwde Johan de Witt in 1655 met Wendela, de dochter van Jan Bicker, een schatrijke koopman met connecties. De Witt stelde de staatsfinanciën op orde en creëerde een sterke vloot. Toen in 1665 opnieuw oorlog uitbrak met de Engelsen, werd in deze Tweede Engels-Nederlandse Oorlog dan ook de overwinning behaald. De Witt was betrokken bij de totstandkoming van de Vrede van Breda in 1667.
Om de Engelse handelsrivaal te weerstaan, was het Staatse leger echter sterk verwaarloosd. De Witt probeerde door een pro-Franse politiek te voeren de veiligheid van de Republiek der Zeven Verenigde Nederlanden te waarborgen, maar wilde niet meegaan met het plan van Lodewijk XIV om de Spaanse Nederlanden te verdelen. Hierop volgde in 1672 (Ook bekend als het Rampjaar) tijdens de Hollandse Oorlog de Franse invasie van de Republiek. Twee weken nadat zijn broer Cornelis op valse beschuldiging van verraad werd gearresteerd trok De Witt zich terug als politiek leider. Op 21 juni overleefde hij een eerste moordaanslag: hij werd neergestoken maar herstelde. Toen Johan zijn broer op 20 augustus bezocht, in de val gelokt door een vervalste brief, werden beide broers door het gepeupel vermoord; in feite ging het bij deze "spontane" aanval om een zorgvuldig geplande moordaanslag door de kliek rond de Orangist Johan Kievit met medewerking van diens zwager Cornelis Tromp hoogstwaarschijnlijk met medeweten van Willem III, prins van Oranje-Nassau. Aanvankelijk beschermde de cavalerie de gevangenis, maar ze kreeg het bevel te vertrekken onder het valse voorwendsel van een bericht over plunderende boeren. Daarna drong een groep politieke vijanden van De Witt de gevangenis binnen, en sleurden de broers naar buiten. De Witt kreeg een nekschot; zijn lijk werd ontkleed, ondersteboven opgehangen, ontmand en ten dele opgegeten. Zijn hart werd door Dirck Verhoeff eruit gesneden en samen met het hart van zijn broer is dat nog jaren tentoongesteld. De duim en tong van de gebroeders de Witt zijn nu te vinden in het Haags Historisch Museum. Het verloop van het proces tegen Cornelis de Witt is nagespeeld en verfilmd, deze film is te zien in Rijksmuseum de Gevangenpoort in Den Haag. Het standbeeld van Johan de Witt op de Plaats in Den Haag verwijst met zijn vinger naar de plek waar hij en zijn broer gelyncht zijn; het Groene Zoodje (de vaste standplaats van het schavot). Hoewel er meer aanwijzigen bestaan voor een meer directe betrokkenheid van de Prins van Oranje bij de moord op de gebroeders de Witt, werden deze van officiële zijde nooit afdoende onderzocht. 20 Augustus 1672 blijft een inktzwarte bladzijde in de Nederlandse geschiedenis.
Johan de Witt was naast staatsman ook een begenadigd wiskundige. In 1659 schreef hij "Elementa Curvarum Linearum" (Grondbeginselen van de Kromme Lijnen') als bijlage bij een vertaling van René Descartes' "La Géométrie".
In 1671 verscheen van hem "Waardije van Lyf-renten naer Proportie van Los-renten". Dat werk hield ook verband met zijn staatmanschap. Al sinds de middeleeuwen was een lijfrente een manier om voor een bepaald persoon een geregeld inkomen te 'kopen', bijvoorbeeld van de overheid. Ook bestonden er los-renten die meer leken op een staatslening. De Witt liet zien - door kansrekening toe te passen - dat bij een gelijk bedrag een losrente van 4% gemiddeld evenveel opleverde als een lijfrente van 6% (1 in 17). De Staten betaalden echter meer dan 7% (1 in 14).
Het werkje over lijfrenten wordt tegenwoordig gezien als de start van de verzekeringswiskunde.
De plotselinge terugslag in wat gezien werd als een 'weduwen voorziening' droeg ongetwijfeld bij aan de "slechte pers" die de broeders de Witt al hadden. Het is in ieder geval opmerkelijk dat in 1673, na de gewelddadige dood van de broeders, er nieuwe Lijf-renten werden uitgeschreven voor het oude tarief van 1 in 14....

Isaac Newton
Volgens de Gregoriaanse kalender, die in Engeland pas in 1752 de Juliaanse kalender verving, werd Newton geboren op bovenstaande data. Volgens de Juliaanse kalender, die tijdens Newtons leven in Engeland van kracht was, leefde hij van 25 december 1642 tot 20 maart 1727.
Newtons ouders hadden een boerenbedrijf. Zijn vader overleed drie maanden voor zijn geboorte. Hij werd te vroeg geboren en aanvankelijk werd voor zijn leven gevreesd. Toen hij pas twee jaar was, hertrouwde zijn moeder met een geestelijke en trok dadelijk in bij haar nieuwe man in een naburig dorp. Newton werd aan de zorgen van zijn grootmoeder en oom overgelaten. Tot zijn zestiende volgde hij zijn lagere en middelbare schoolopleiding in Grantham, waar hij bekend werd door zijn mooie mechanische modellen: poppemeubels voor meisjes, een kar met handaandrijving voor de inzittende, zonnewijzers, windmolens en vliegers met lantarens die hij 's nachts opliet.
Toen Newton tien jaar was, werd zijn moeder voor de tweede maal weduwe en keerde terug naar Woolsthorpe, met een stiefbroertje en twee stiefzusjes voor Isaac. Ze hoopte dat haar zoon het landbouwbedrijf dat ze van haar tweede man had geërfd zou uitbaten. Het boerenbedrijf boeide Newton echter helemaal niet, en vroeg om verder te mogen studeren. Hij vertrok op zijn achttiende jaar (1660) naar Cambridge. De ontmoeting met de wiskundige Isaac Barrow maakte een diepe indruk op hem. Hij bestudeerde er onder andere de Elementen van Euclides, de Geometria van Descartes, de Arithmetica infinitorum van Wallis en de Dialogo van Galilei.
In 1669 werd hij verkozen tot zogenaamde Lucasian professor in de wiskunde. Deze leerstoel vereiste bij wijze van uitzondering dat de hoogleraar niet in de Anglicaanse kerk werkzaam zou zijn, waarschijnlijk om meer tijd voor de wetenschap te hebben. Daarom vroeg en verkreeg Newton van koning Karel II ontheffing van de verplichting om priester worden. Zo werd een conflict tussen Newtons godsdienstige opvattingen en de Anglicaanse kerk vermeden.
Newton werd lid van het wetenschappelijk genootschap de Royal Society. Van 1703 tot 1727 was hij voorzitter.
In 1696 verhuisde Newton naar Londen om muntmeester te worden. Hij pakte het werk op zijn gebruikelijke systematische manier aan en bestreed onder meer valsemunters. Van 1699 tot zijn dood was hij directeur van Munt (Master of the Mint). Voor zijn werk bij de Munt werd hij geridderd door Queen Anne in 1705. In 1717 zorgde Newton voor de overgang van het Pound Sterling van de zilveren naar de gouden standaard die bijdroeg aan de welvaart van Engeland.
Voor zijn vijfentwintigste jaar had hij zijn drie fundamentele ontdekkingen gedaan: de universele gravitatie, differentiaal- en integraalrekening en dispersie (kleurschifting). Ook had hij toen al de eerste spiegeltelescoop geconstrueerd.

Christiaan Huygens
Huygens werd in 1629 geboren in Den Haag aan de Lange Houtstraat in een welvarende en voorname familie. Zijn vader, Constantijn Huygens (1596-1687), was diplomaat, topadviseur van de Oranjes en dichter. Zijn moeder was Suzanna van Baerle (1596-1637), "Sterre" in de gedichten van vader Constantijn. Christiaan schreef later van zijn moeder "dat ze een grote voorliefde voor de natuurwetenschappen had". Christiaan had een oudere broer Constantijn en een zus Suzanna. Zowel Christiaan als Suzanna werden geportretteerd door Caspar Netscher. Door toedoen van zijn vader kwam Christiaan in contact met de hoogste wiskundige kringen van zijn tijd, zoals René Descartes. Deze laatste beïnvloedde duidelijk de opvoeding van Christiaan Huygens op het vlak van de wiskunde. Huygens kreeg in zijn jeugd wiskundeles van Jan Stampioen. Vader Constantijn noemde zijn slimme zoon "mijn Archimedes".

Huygens studeerde rechten en wiskunde aan de universiteit van Leiden van 1645 tot 1647, onder meer bij de stimulerende wiskundige Frans van Schooten. Ook Johan de Witt en Hendrik van Heuraet studeerden wiskunde bij Van Schooten. Nadien zette hij op verzoek van zijn vader deze studies voort aan het Oranjecollege (Collegium Arausiacum, een hogere bestuursschool) in Breda, waar Christiaan bleef corresponderen met Van Schooten.
In 1649 schreef hij zijn eerste werk, De iis quae liquido supernatant (1649, Over de delen die boven de vloeistof uitsteken) over hydrostatica. De Royal Society benoemde Huygens tot lid in 1663. In 1666 verhuisde Huygens naar Parijs, waar hij benoemd was als onderzoeksdirecteur bij de Franse Academie van Wetenschappen (Académie des sciences), die begunstigd werd door Lodewijk XIV. In het observatorium van Parijs zette Huygens zijn sterrekundige waarnemingen voort. In 1672 verklaarde zijn beschermheer Lodewijk XIV de oorlog aan zijn vaderland, waar zijn broer en vader in dienst stonden van Oranje. Huygens bleef op zijn post. Huygens keerde in 1681 terug naar Den Haag onder meer vanwege depressies en tegenwerking. Hij trok in bij zijn vader aan het Plein. Vanaf 1682 woonde hij op Hofwijck, het 'buiten' in Voorburg (nu doorsneden door de spoorlijn). In 1685 probeerde hij terug te keren naar Frankrijk, maar de herroeping van het Edict van Nantes maakte dit onmogelijk. In Nederland zette hij zijn onderzoek voort: hij kon putten uit het familiefortuin. In 1689 bezocht hij in Londen Robert Boyle en Isaac Newton van de Royal Society en de filosoof John Locke. Huygens stierf in Den Haag op 8 juli 1695. Zijn archief liet hij na aan de universiteit Leiden, waar het nu nog in de bibliotheek te vinden is. De familie Huygens behield instrumenten en lenzen. Helaas werd de collectie in 1754 bij opbod verkocht zodat veel verstrooid raakte. Museum Boerhaave in Leiden bezit een aantal Huygens-lenzen.
Door zijn vaders contacten met de wiskundige en wetenschappelijke bemiddelaar Marin Mersenne, ging Huygens zich onder andere bezig houden met het probleem van de vorm van een touw, opgehangen aan zijn beide uiteinden (de zogenaamde kettinglijn). Hij weerlegde op zeventienjarige leeftijd de beweringen van zowel Simon Stevin als Galilei dat de kettinglijn een parabool was.
Huygens' eerste publicaties in 1651 en 1654 behandelden wiskundige problemen over krommen. Nadien ging zijn aandacht uit naar de waarschijnlijkheidsleer. Huygens werd door Blaise Pascal aangemoedigd zijn boekje De ratiociniis in ludo aleae (Berekening van kansspelen) te schrijven. In Parijs hoorde hij van het debat tussen Pascal en Fermat over het probleem hoe de pot verdeeld moet worden bij een afgebroken spel. Huygens en de raadspensionaris Johan de Witt waren pioniers van de verzekeringswiskunde.
Zijn werk aan het slingeruurwerk leidde tot de ontdekking dat de cycloïde een isochrone kromme is.
Huygens bestudeerde hij kegelsneden en deed voorbereidend werk in de richting van de differentiaal- en integraalrekening. Zijn bewijzen bleven steeds vernuftig meetkundig, anders dan die van zijn jongere tijdgenoten Leibniz en Newton. Huygens' belangstelling ging later meer uit naar astronomie.

Blaise Pascal
Pascal was de zoon van Etienne Pascal, rechter in Clermont-Ferrand. Na de dood van diens vrouw, Antoinette Bégon, die overleed toen Blaise vier was, verkocht zijn vader zijn werk door aan zijn broer, zodat hij zich geheel aan de opvoeding van zijn kinderen kon wijden. Ze verhuisden in 1631 naar Parijs. Blaise had twee zussen, Gilberte en Jacqueline. De laatste trad na de dood van haar vader in in het jansenistische klooster Port Royal in Parijs. Zij was naast zijn vader de belangrijkste persoon in het leven van Blaise.
Vader Pascal onderwees zijn kinderen zelf. Al vroeg ontdekte hij daardoor de uitzonderlijke talenten van zijn zoon. Blaise had al ongeveer vanaf zijn zevende jaar een onstuitbare leergierigheid op het gebied van de wiskunde en de mechanica. Jacqueline bleek literaire talenten te bezitten; vanaf haar dertiende werd haar al geregeld door het koninklijk hof gevraagd haar gedichten voor te dragen.
Nadat zijn vader een paar slechte beleggingen had gedaan, ging deze weer aan het werk als belastinginspecteur in Rouen. Etienne Pascal moest veel berekeningen maken, hier hielp Blaise hem bij. Door dit werk raakte hij zo geïnspireerd dat hij een mechanische rekenmachine maakte. Blaise Pascal was de eerste die een rekenmachine uitvond.
Etienne Pascal deed veel moeite te worden toegelaten tot de prestigieuze Académie Française, naast de Sorbonne het Mekka voor Franse wetenschappers in die tijd. Het lukte hem inderdaad en zo kon hij ook zijn zoon na verloop van tijd bij de geleerde heren introduceren. Al spoedig stond hij bekend als een jong genie.
Hij correspondeerde behalve met Fermat ook met Christiaan Huygens, Gottfried Leibniz en andere grote wiskundigen van de Gouden Eeuw. Hoewel Fermat en Pascal elkaar nooit persoonlijk hebben ontmoet, is hun samenwerking altijd positief geweest en stimuleerden ze elkaar om oplossingen voor steeds nieuwe vraagstukken te vinden.
Toen Blaise zeventien was, poneerde hij zijn eerste belangrijke stelling op het gebied van de projectieve meetkunde.

Oplossing probleem van De Meré

2.1 Probleem van De Meré
De franse ridder Chevalier De Meré meende dat hij een tegenstrijdigheid in de rekenkunde had ontdekt. Hij had gezien dat de weddenschap om met twee dobbelstenen in 24 worpen tenminste één keer dubbel zes te gooien slechter uitviel dan de weddenschap om met één dobbelsteen in vier worpen tenminste één keer zes te gooien. Hij constateerde dat eerste weddenschap nadeliger uitviel, dan de tweede weddenschap. Omdat bij een worp met één dobbelsteen zes uitkomsten mogelijk zijn en bij een worp met twee stenen 36, redeneerde hij dat zijn waarneming in tegenspraak was met het evenredigheidsprincipe van de rekenkunde. Hierbij is namelijk de verhouding 4 tot 6 precies dezelfde is als de verhouding 24 tot 36.
2.2 De oplossing voor het probleem.
Nadat De Meré het probleem bij de wiskundige Blaise Pascal had neergelegd nam Pascal contact op met Pierre Fermat. Na een lange brievenwisseling werd het probleem opgelost. De oplossing van Fermat werkt met de combinatietheorie. Als voorbeeld volgt hier een samengevat stukje uit een brief van 24 augustus 1654 aan Pascal.
Fermat bediscussieerd het geval met 2 spelers A en B, waarbij A 2 punten wil om te winnen en B 3 punten. Dan zal het spel zeker binnen 4 keer proberen worden besloten. Neem de letters a en b en geef alle combinaties van 4 letters. Dat zijn de volgende 16: aaaa, aaab, aaba, aabb; abaa, abab, abba, abbb; baaa, baab, baba, babb; bbaa, bbab, bbba, bbbb. Nu geeft elk geval waarin b 3 of meer keer voorkomt een geval waarin B wint. Dus, opgeteld, zijn er 11 mogelijkheden waarbij A wint en 5 waarin B wint. Aangezien deze gevallen gelijke kansen hebben, is de kans dat A wint tegen B precies 11 tegen 5.
De oplossing lag dus eigenlijk voor de hand. De kans op dubbel zes is 1:36. De kans op verlies van de inzet is gelijk aan 35/36 tot de 24e macht (24 keer achter elkaar geen dubbel zes). De kans op winst bij dit spel is dus gelijk aan 1 - (35/36)24 = 0,491... De rede dat De Meré het fout had was omdat hij volgens het evenedigheids principe redeneerde, wat niet opgaat in de kansrekening.