Complexe getallen

Wortels trekken uit een negatief getal kan niet.
Kunnen we een manier verzinnen, zodat het wel kan?

Complexe getallen zijn getallen die in een complex vlak liggen. Het gebruik van dit complexe vlak maakt het mogelijk om toch uitkomsten te krijgen na worteltrekken van een negatief getal.

We hebben altijd geleerd dat de uitkomst uit een tweedegraads wortel leidt tot twee antwoorden, een positieve of een negatieve, dit is logisch, want als je twee negatieve getallen vermenigvuldigt, dan krijg je een positief antwoord.

√4 = 2 of -2

Maar als je de wortel uit een negatief getal wilt halen, is dat een stuk moeilijker. Immers, er zijn geen twee gelijke getallen die - als je ze met elkaar vermenigvuldigt (een kwadraat dus) – leiden tot een negatief getal.

We nemen als voorbeeld het getal 2

(-2)² = 4
2² = 4

Er is een mogelijkheid om een getal als een vector te bekijken, dit is een pijl met richting en waarde. De waarde van bijvoorbeeld 2 is dan een pijl met lengte van 2 cm. De richting is uit te drukken door middel van graden ten opzichte van een positieve x-as.

Een hele

Positieve vectoren met lengte 2 komen dan in een soort assenstelsel te liggen op de x-as, waarmee zij een hoek maken van 0°. Omdat hoeken na 360 graden weer hetzelfde zijn, kun je ook zeggen dat het pijltje een hoek van 360 graden maakt. Een negatieve waarde ligt dan natuurlijk 180° verderop, een half rondje omgekeerd, negatieve waarden maken dus een hoek van 180° met de positieve x-as.


Figuur 1

Het getal +2 is dan een pijl met lengte 2 die een hoek van 0 graden maakt met die positieve x-as. Omdat hoeken na 360 graden weer hetzelfde zijn, kun je ook zeggen dat het pijltje een hoek van 360 graden maakt. Het getal -2 is een pijl met lengte 2 die een hoek maakt van 180° met de positieve x-as, of dan natuurlijk 540°.

Regel
180°= 540°
360°= 720°

Als we getallen dus ook op deze manier kunnen weergeven en vermenigvuldigen, moeten we nieuwe afspraken maken omtrent vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Regel
1. Vermenigvuldigen: Vermenigvuldig de lengtes van de pijltjes en tel de hoeken op.
2. Delen: Deel de lengtes van de pijltjes en trek de hoeken van elkaar af.
3. Worteltrekken: Trek de wortel uit de lengte en halveer de hoek.
4. Kwadrateren: Kwadrateer de lengte en verdubbel de hoek.

Als voorbeeld:
x= (-6)×(-4)
Hier krijgen we x= +24 uit, want min-keer-min is plus! Volgens de nieuwe regel wordt dit dan (-6)×(-4)= 24, maar ook 180°+180°= 360°, positief dus!

Voor kwadraten kunnen we nu ook via ‘de nieuwe methode’ de twee uitkomsten verklaren.
x²= 16
(-4)×(-4)=16, met 180º+180º=360º, dus positief. En natuurlijk:
(4)×(4)=16, met 0º+0º=0º, ook positief.

Nu zijn we ook in staat om wortel te trekken uit negatieve getallen:
x²= -16
Volgens de nieuwe regel trekken we wortel uit de lengte, 16 dus.
√16=4
En delen we de hoek door twee, -16 is negatief, dus 180º.
180/2 =90º
Deze getallen liggen dus niet meer op de horizontale getallen lijn, maar in het complexe vlak zoals dat genoemd wordt, loodrecht op de ‘x-as’, wat we niet meer zo mogen noemen.

Volgens afgesproken regels krijgen de assen nu nieuwe namen, als een soort coördinatenlijnen.

Regel
1. x-as wordt reële as.
2. y-as wordt imaginaire as.
3. Getallen op de i-as hebben nu de eenheid i.

Als deze regels er niet waren zou het te vaak verward worden met een assenstelsel, en er zijn zo meer manier om getallen weer te geven in complexe vlakken.


Figuur 2

In Figuur 2 is een complex vlak te zien met de Re-as en de i-as. Op de Re-as ligt het getal –9, op de i-as ligt het getal 3i. Dit is logisch, want:

Volgens de gegeven regel moeten we worteltrekken uit de lengte, dus zonder minteken, van de vector op de Re-as, en het aantal graden delen door twee.

1. √9 =3
2. 180º / 2= 90º ( Op de i-as dus).

Als we op de tweedegraads formule x²-6x+25=0 de Abcformule loslaat, en daarna wat we net geleerd hebben, gebeurt er het volgende:
x²-6x+25=0

D=b²-4ac
D=(-6) ² -4·1·25
D=36-100=-64

x= (-b ± √(-64)) / 2a
x= (6 ± √(-64)) / 2
x= (6 ± 8i) / 2
x= 3 ± 4i

Door middel van deze methode kan je door middel van de Abcformule nog steeds uitkomsten krijgen als geldt D<0.

Conclusie
Complexe getallen zijn dus getallen+eenheid (i) die het mogelijk maken om vergelijkingen als p+x²=0 op te lossen waarbij p dus kleiner dan nul is. Deze getallen zijn niet echt, en worden imaginair genoemd. Ze liggen in het complexe vlak, tussen of op de Re-as en de i-as. Dit gebeurt dan door het in het leven roepen een imaginaire as.