(a) Laat zien hoe de verhouding van de gulden snede kan worden afgeleid uit de bovenstaande tekst.

(b)Als we de verhouding voorstellen door fie, druk dan de eerste 13 machten van fie uit in functie van fie.

(c) Zoek de toepassingen van fie in de bouwkunst.

(d) fie in de meetkunde: zoek een constructie van fie en leg het verband met de gouden rechthoek. Zoek voorbeelden uit het dagelijkse leven voor die gouden rechthoek.

(e)Beschrijf de bijbehorende historische achtergronden.

(j=fie)

(a) Laat zien hoe de verhouding van de gulden snede kan worden afgeleid uit de bovenstaande tekst.

De gulden snede wordt afgeleid uit het menselijk lichaam.
Men (Vitruvius) vergelijkt het lijnstuk dat onwillekeurig verdeelt is maar toch steeds de verhouding 5/8 heeft, met het menselijk lichaam.
Het centrum is dus de navel.
De afstand van je navel tot de grond en de lengte van je hele lichaam zullen zich dus altijd verhouden tot elkaar als 5/8.
Men noemt dit ook wel proportionele verhoudingen.

(b) Als we de verhouding voorstellen door j, druk dan de eerste 13 machten van j uit in
functie van j.

j =

voor de gulden snede nemen we meestal 1.618
dit getal is een oplossing van de vierkantsvergelijking x²-x-1=0 .Als we de
oplossing fie noemen moet dus fie²-fie-1=0 of fie²=fie+1.
neem dan ook fie³ = fie²*fie= (fie+1)*fie ( wegens vorig resultaat voor
fie²) = fie²+fie= fie+1+fie = 2 fie+1.

(c) Toepassingen in de bouwkunst of de schilderkunst.

-Omdat de Gulden Snede fijn is om naar te kijken wordt hij vaak gebruikt in de kunst en de architectuur.
Als je een schilderij maakt van een mannetje dan zet je het mannetje niet precies in het midden maar ongeveer op de guldensnede. Het gezicht van het mannetje teken je niet zomaar op een hoogte maar op de guldensnede hoogte.
Je krijgt dan zoiets.

-De oude Egyptenaren bouwden piramides die als begraafplaats gebruikt werden. Naast argeologisch onderzoek worden er ook wiskundige onderzoeken gedaan. Zo blijkt dat de Gulden Snede een grote rol speelt in de bouw van een piramide. We nemen nu de grote piramide in Gireh (gebouwd rond 2500 voor Christus) als voorbeeld.
De hellingshoek van deze piramide is 51,85°.
Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide op de volgende manier maken dan krijgen we een driehoek. Als je nu de basis van de driehoek lengte A geeft, dan is de lengte van de schuine lijn: A * phi.

Dus de Gulden Snede komt ook terug in de piramides.
-Een pentagram (van de heksen): De zijden van het pentagram snijden elkaar in gulden snede-verhoudingen.

-Het beroemde Parthenon (tempel van de Griekse god Athene) is gebouwd rond 440 voor Christus. Daarin kun je ook de Gulden Snede terug vinden.

-Hieronder is een schilderij van Leonardo Da Vinci verdeeld volgens de gulden snede. Je ziet dat er precies een kruis loopt door het gezicht en door de horizon en de hoek van de muur enz.

( al deze informatie komt van http://mediatheek.thinkquest.nl)

(d) De gulden rechthoek
De gulden snede maakt een bijzondere vlakverdeling mogelijk, namelijk een waarbij uitsluitend vierkanten van verschillende grootte worden gebruikt.We bekijken de tekening hieronder . We beginnen met een rechthoek met lengte 1 + j en breedte 1. We knippen aan de linkerkant een vierkant met zijde 1 weg, en houden rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte j over. Wanneer we nu in deze rechthoek een lijnstuk tekenen zodat de rechthoek verdeelt wordt in een vierkant met zijde j en een rechtoek.Dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn eerste rechthoek. Een rechthoek met deze lengte-breedteverhouding noemen we een gulden rechthoek.

De kleinere gulden rechthoek kunnen we wéér verdelen in een vierkant (met zijde j ²) en een nog kleinere gulden rechthoek.Op deze manier kun je telkens kleinere vierkanten maken, tot je uiteindelijk een microscoop nodig hebt om de kleinste vierkantjes nog te kunnen zien.
Deze Gulden Driehoek is ook bijzonder doordat er door een aantal hoeken van de steeds kleiner wordende vierkanten een spiraal gaat. Deze spiraal is logaritmisch (de hoek die de spiraal maakt met een cirkel om het accumulatiepunt is overal hetzelfde) en logaritmische spiralen komen vaak voor in het dagelijkse leven.
Bv: - De rangschikking van zonnepitten in een zonnebloem.
-De doorsnede van de Nautilus ( de schelp van een slak) is een logaritmische spiraal.
(http://www.phys.tue.nl)

(e) Historische achtergronden.

De verhouding van de gulden snede was al bij Euclides (325 - 265 vC) bekend, maar die beschreef hem slechts in zijn Elementen: een lijnstuk is verdeeld volgens de gulden snede als het grootste deel zich tot het kleinste verhoudt zoals het geheel zich verhoudt tot het grootste deel. Ook publiceerde Luca Pacioli in 1498 zijn Divina Proportione, over de gulden snede, maar ook dit boek ging alleen over de wiskundige verhoudingen en zwijgt in alle talen over de rol die deze proportie in de kunst zou spelen. Inderdaad oriënteerden schilders zich vaak op de verhoudingen van het menselijk lichaam (wat is opgebouwd volgens de gulden snede). Voor de veronderstelling dat Leonardo da Vinci (kunstenaar en uitvinder die veel aandacht had voor het menselijk lichaam,1452-1519) de sectio aurea (< Lat. Gulden Snede) introduceerde, ontbreekt elk bewijs.
Het is dus een misverstand dat de gulden snede al in de renaissance zou zijn gebruikt door kunstenaars en architecten.
Wel bleef de mens de bijzondere verhouding bewonderen, maar een verband met de kunst werd pas gelegd in 1854, door de Duitse filosoof Adolf Zeising, in zijn boek Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers.
Volgens hem was de natuur geordend volgens de gulden snede. Geen enkele kunstenaar of filosoof had er voor het verschijnen van Zeisings boek blijk van gegeven aan de gulden snede enig artistiek belang te hechten.
(http://www.hetorgel.nl/)