Magische Vierkanten

De Chinezen waren de eerste die met magische vierkanten gingen werken. Volgens de Chinese geschiedenis kreeg de keizer Yü voor het eerst in een visioen een magisch vierkant te zien toen hij het patroon in de rug van een schildpad zag. Voor de Chinezen staan de even getallen gelijk met Yin (vrouwelijke deel van het leven), terwijl de Yang (het mannelijke deel) symboliseren. De Europeanen raakten snel geïnteresseerd in de magische vierkanten uit het Oosten. Tot de zestiende eeuw werden de magische vierkanen hier nog beschouwd als figuren met toverkracht. Ze werden gebruikt voor het bezweren van geesten. In de eeuw van de verlichting werden magische vierkanten een tijdverdrijf voor mensen met wiskundige aanleg. Benjamin Franklin hield zich er mee bezig in zijn jonge jaren. Later, duidelijk in een speelse bui, beschreef hij één van die vierkanten als het ‘maximale vierkant de magische vierkanten ook door magiër gemaakt’. Het tovervierkant is een heel bijzonder, groots iets. Daarom is het ook boeiend om te onderzoeken. Een tovervierkant is een tovervierkant als diagonaal, horizontaal en verticaal de uitkomst altijd hetzelfde is, de uitkomst is de toversom. Je kunt sommige tovervierkanten 3 keer 90 graden draaien. Dat levert drie nieuwe varianten op. Je kunt het vierkant ook in spiegelbeeld zien. Door spiegelen en draaien kom je alles bij elkaar, voor elk vierkant, zeven afgeleide versies. Afgezien van deze varianten is de lo-shu uniek; dat wil zeggen dat een tovervierkant van de derde orde maar op één manier gemaakt kan worden. In hogere ordes ligt dat wat anders. Weer afgezien van afgeleide versies zijn er nog altijd 880 tovervierkanten van de vierde orde mogelijk en meer dan 275 miljoen van de vijfde orde. In dit plaatje zie je ook een magisch vierkant. Hij is gemaakt door Albrechts Dürer in 1514. Als je goed kijkt zie je ook dat de middelste twee vakjes van de onderste rij dat daar 1514 staat. Dit is het vierkant vergroot en duidelijker gemaakt, nu kan je duidelijk de 15 en 14 zien. Maar er zitten nog veel meer bijzonderheden in bovenstaand magisch vierkant. Als het vierkant verdeeld in vier vakken, is de som van die vier getallen in zo'n vierkantje ook steeds 34. Bij een 4x4 magisch vierkant zijn ook steeds de volgende blauwe vakjes samen 34: Tovervierkanten kunnen dus heel interessant zijn. Het lijkt misschien raar, maar er bestaan wel degelijk speciale manieren om een tovervierkant te maken. Ook kan je, als je heel goed kijkt, een bepaalde regelmaal ontdekken in een tovervierkant. Dit heeft dus weer te maken met de manier waarop het vierkant gemaakt is. Het grootste magische vierkant ooit gemaakt is 3001 bij 3001. Dat is weer een bewijs dat tovervierkanten echt groots zijn. We noemen de afmeting van een magisch vierkant de orde
De constante van een magisch vierkant is de som van de kolommen, de rijen en het diagonaal. Ga maar eens na voor de orde N: constant = ½ (N3 + N) We noemen een magisch vierkant standaard als zij de getallen 1 tot en met N2 bevat. Een zeer bekende standaard vierkant van de orde 3 is “lo-shu” (afkomstig uit de Chinese overlevering) Manier van een boek: Bij 9 getallen: - Het middelste getal zet je in het midden van het tovervierkant - Het kleinste getal zet je daarboven - Het grootste getal zet je onder het middelste getal - Je hebt nu de som van het tovervierkant - Het een na kleinste getal zet je linksonder in het tovervierkant - Nu kun je verder alle getallen invullen - Teken een vierkant van 5 bij 5 in de getallen - Het middelste getal komt in het midden - De getallen buiten het vierkant worden als volgt geplaatst: • Getallen rechts gaan op de dezelfde rij links in het vierkant • Getallen links gaan op dezelfde rij rechts in het vierkant • Getallen boven gaan op dezelfde rij onder in het vierkant • Getallen onder gaan op dezelfde rij boven in het vierkant

Bij 16 getallen: - Horizontaal, verticaal en diagonaal is de som hetzelfde - Bij de middelste 4 getallen is de som hetzelfde - Bij elk blokje van 4 getallen op de bovenste 2 rijen is de som hetzelfde - Bij elk blokje van 4 getallen op de onderste 2 rijen is de som hetzelfde
Bij 36 getallen (deze methode kan bij alle even tovervierkanten): - De middelste 16 getallen vormen een tovervierkant van 4 bij 4 - De laagste 10 en hoogste 10 getallen komen in de rand te staan
Door mij gevonden manier: Tovervierkanten met oneven aantal hokjes (Deze manier is voor het maken van een tovervierkant van 25 bij 25) - Begin met het cijfer 1 in het midden van de bovenste rij - Het cijfer 2 komt nu in de volgende kolom onderaan, diagonaal daar boven komt cijfer 3, 4 enz. tot het einde van de diagonale lijn. - Dan ga je naar het begin van de rij daarboven, daar ga je verder met het volgende cijfer, ook weer diagonaal naar boven - Kom je bij een vakje dat al bezet is, dan zet je het volgende cijfer onder het laatste cijfer en ga je weer diagonaal verder naar boven. - Bovenaan gekomen ga je weer naar de volgende kolom onderaan en van daaruit weer diagonaal naar boven - Kom je in de hoek rechtsboven uit, dan zet je het volgende cijfer in de onderste rij vooraan. Is dit vakje bezet, dan zet je het volgende cijfer onder het laatste cijfer - Zo ga je door tot alle vakjes gevuld zijn
Tovervierkanten met even aantal hokjes: (Methode voor viervouden: diagonale methode) De volgende methode kan worden gebruikt voor vierkanten van de orde die een veelvoud zijn van 4. Deze methode levert zelfs twee verschillende magische vierkanten op. Te beginnen met een vierkant van 4 bij 4. Vul dit eerst in met de getallen 1 tot en met 16. Teken dan de twee diagonalen
Nu zijn er twee manieren om aan een magisch vierkant te komen. Je kunt de getallen op de diagonaal verwisselen of alleen de getallen die niet op de diagonaal staan. Je wisselt dan de getallen die symmetrisch zijn ten opzichte van het midden van het vierkant. Er zijn grote records van tovervierkanten. Het allergrootste tovervierkant ooit gemaakt is 3001 bij 3001 hokjes! Hij is gemaakt door Louis Caya uit Sainte-Foy, Canada, in 1994. Er zijn wel regels aan het maken van recordtovervierkanten • Het tovervierkant moet op papieren (of op een papier) getekend/geprint worden. Een computerbestand is dus ongeldig. • Het is toegestaan om het tovervierkant op (vele) meerdere bladen papier te maken, maar ze moeten wel zó samen liggen dat ze het tovervierkant vormen. • Bij het gebruik van een computerprogramma moet een computer en wiskundig deskundige bevestigen dat het programma klopt. Het allergrootste tovervierkant ooit met de hand gemaakt is 1111 bij 1111, door Norberth Behnke uit Krefeld, Duitsland. Hier onder een lijst met wereldrecords: Formaat Naam maker(s) Woonplaats maker Jaar
3001 X 3001 Louis Caya Sainte-Foy - Canada 1994
2121 X 2121 Ralf Laue Leipzig - Duitsland 1991
2001 X 2001 Sven Paulus/Ralph Bülling, Jörg Sutter Pforzheim - Duitsland 1989
1000 X 1000 Christian Schaller München – Duitsland 1988
897 X 897 Frank Tast en Uli Schmidt Pforzheim - Duitsland 1987
501 X 501 Gerolf Lenz Wuppertal- Duitsland 1979
105 X 105 Richard Suntag Pomona - Amerika 1975 Het tovervierkant is waarschijnlijk ontstaan in China. Er zit een heel verhaal achter: Heel vroeger was er een grote overstroming in China. De mensen gingen offers brengen aan de riviergod van een van de overstromende rivieren (de Lo). Maar er kwam elke keer een schildpad die rond het offer ging lopen. De riviergod accepteerde het offer niet, tot de keer dat een kind een bijzonder figuur op het schild van de schildpad zag. Dit was een tovervierkant, dat Lo-Shu heette. Lo-Shu betekent iets als - rivierkaart - . De mensen wisten uit het tovervierkant op de schildpad het getal 15 te halen; te toversom. Lo-Shu was een 3 bij 3 tovervierkant. Waarschijnlijk is dit hem: 4 9 2
3 5 7

8 1 6 Opdracht 1: 16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
A: 16+3+2+13 = 34
5+10+11+8 = 34
9+6+7+12 = 34
4+15+14+1 = 34
B: 16+5+9+4 = 34
3+10+6+15 = 34
2+11+7+14 = 34
13+8+12+1 = 34
Uit elke som komt 34
C: 13+11+6+4 = 34
16+10+7+1 = 34 Opdracht 2: A: 4 14 12
18 10 1 8 4 0 B: 2 7 6
9 5 1
4 3 8 Opdracht 3: 5 4 10 3 9 15 2 8 14 20
1 7 13 19 25
6 12 18 24 11 17 23 16 22 21