Cookies..
Door Scholieren.com te bezoeken ga je akkoord met het gebruik van cookies. Klik hier voor meer info.

Escher

Wiskunde

Praktische opdracht

M.C. Escher

6.7 / 10
5e klas vwo
  • P ke
  • NL
  • 3168 woorden
  • 23363 keer
    195 deze maand
  • 20 juni 2005

Stel, je kunt via Scholieren.com allerlei producten (snacks, toetjes, drankjes, deo, douchespul, shampoo) gratis ontvangen, testen en beoordelen. Leuk?

Biografie

Maurits Cornelis Escher (in het gezin ook wel ‘Mauk’ genoemd), werd geboren op 17 juni 1898 in Leeuwarden. Zijn vader, George Arnold Escher, was hoofdingenieur-directeur bij het departement van Waterstaat. Zijn moeder, Sara Adriana Gleichman, was de tweede vrouw van George. Escher woonde het grootste deel van zijn jeugd in Arnhem, namelijk sinds 1903. Escher volgde er de HBS. Het was geen plezierige tijd; hij bleef 2 keer zitten en zijn schoolresultaten waren beneden peil. Alleen in tekenen was hij goed. Tijdens de tekenlessen van Meneer van der Haagen leerde hij de techniek van de linoleumsnede. In 1919 ging Escher in Haarlem de architectenopleiding aan de School voor Bouwkunde en Sierende Kunsten volgen. Dit op aanraden van zijn vader, die vond dat hij een wetenschappelijke opleiding moest hebben. De Bouwkunde lessen waren geen succes, maar in de Sierende Kunsten was het Samuel Jessurun de Mesquita, waarbij Escher zijn ei kwijt kon. De Mesquita gaf lessen in grafische technieken, en het werd Eschers’s belangrijkste leermeester. Ze bleven, nadat Escher in 1922 de school verliet, contact houden, totdat de Mesquita in 1944 omkwam in een concentratiekamp.


In 1922 vertrok Escher naar Italië om in 1923 in Rome te gaan wonen. Van daaruit maakte hij veel studiereizen, naar bijvoorbeeld Zuidoost-Italië, de Abruzzen, en de kust van Amalfi, waar hij Zwitserse Jetta Umiker ontmoette. Ze trouwden in 1924 en kregen samen 3 zoons: George, Arthur en Jan. Tijdens de periode dat Escher in het zuiden woont, tekent hij landschappen (die hij zou gebruiken in latere werken) en planten, en in Spanje bestudeert hij de Moorse decoraties. Toen het regime van Mussolini voor Escher onaanvaardbaar werd, verhuisde het gezin naar Château-d'Oex in Zwitserland. Escher voelde zich niet thuis in de Zwitserse sneeuwlandschappen en in 1937 verhuisde de familie naar Ukkel, vlakbij Brussel. In 1941 verhuisde het gezin naar Baarn in Nederland, waar Escher verbleef tot in 1970. Deze periode is Eschers meest productieve periode geweest. Maar, Eschers vrouw kon niet aarden in Baarn, en in 1968 verhuisde ze terug naar Zwitserland, waar ze de rest van haar leven zou doorbrengen.


In zijn Nederlandse periode (sinds 1941) kwam de roem pas laat. In 1954 tijdens een internationaal congres van wiskundigen in Amsterdam, wat tegelijk plaatsvond met een tentoonstelling van Escher’s werk in het Stedelijk Museum, begon zijn faam ook in het buitenland. Vooral in de Verenigde Staten werd hij erg bekend. Zijn laatste levensjaren brengt hij vanaf 1970 in het rusthuis voor kunstenaars, in Laren, door. Daar had hij zijn eigen atelier. Escher overleed op 73-jarige leeftijd te Hilversum. Zijn artistieke talenten bleken invloed te hebben op de kunst van Peter Struycken, Victor Vasarely, en Ad Dekkers.

Toelichting op zijn opleiding

Escher volgde na de basisschool, de HBS, de hogereburgerschool, wat nu havo of vwo zou zijn. Deze kon hij vanwege slechte resultaten niet met een diploma afronden. De enige vakken waar hij voldoendes op haalde waren wiskunde, plant- en dierkunde, Nederlandse taal- en letterkunde en hand- en lijntekenen. Desondanks werd Escher, op voorspraak van zijn vader, toegelaten als student bouwkunde in Delft. Het (leren) ontwerpen staat in die opleiding centraal, met een duidelijke link met de techniek- en kennisvakken.
In 1919 ging Escher in Haarlem studeren aan de School voor Bouwkunde en Sierende Kunsten, met de bedoeling architect te worden. Al gauw schakelde Escher over naar de richting van de sierende kunsten. Dit zijn alle opleidingen die Escher heeft gehad, en waarmee hij, wonderbaarlijk genoeg, uiterst ingewikkelde wiskundige en kunstzinnige tekeningen kon maken.

Invloed op zijn ontwikkeling tot grafisch kunstenaar

Door de verschillende richtingen in de opleidingen die Escher koos, kon hij bepalen waar zijn talenten en interesses lagen. Die lagen duidelijk in de grafische en kunstzinnige hoek. Na zijn opleidingen afgerond te hebben, heeft hij zich ontwikkeld tot een grafisch kunstenaar. Degene die daar de grootste invloed op heeft gehad, is Samuel Jessurun de Mesquita, hij was een belangrijke leermeester voor Escher. Op de School van Bouwkunde en Sierende Kunsten heeft hij de voorliefde voor houtsnede op langs hout, overgenomen van de Mesquita. Escher hield sowieso erg veel van houtsneden. Een andere inspiratiebron van Escher was J. S. Bach.
Over hem schreef hij; “Het heeft héél véél van mijn motieven, die ik óók om verschillende assen laat draaien. Ik heb dat gevoel van relatie, Verwantschap, tegenwoordig zoo sterk, dat ik tijdens het luisteren naar Bach, dikwijls geïnspireerd word en een sterke drang naar zijn dwingend ritme voel, een Cadans die iets van de eindeloosheid zoekt. In de Fuga is alles gebaseerd op één enkel Motief, dikwijls maar van enkele noten. Bij mij draait alles ook om één enkel gesloten Contour.''
Ook Escher zelf had invloed op verschillende kunstenaars, namelijk Peter Struycken, Ad Dekkers, en Victor Vasarely.

Wiskundige aspect

Er zijn verschillende wiskundige thema’s die Escher uitwerkt in zijn prenten. Het aspect wat ik hier nader wil toelichten is regelmatige vlakvulling:

Met regelmatige vlakvulling wordt een prent bedoeld die volledig gevuld is met gelijkvormige figuurtjes die elkaar nergens overlappen.
Er zijn 2 verschillende manieren om een vlak te vullen;
de ene manier is, om het vlak met vrij ontworpen tegels (wat vaak een artistiek resultaat geeft, zoals bij Escher) te vullen, en de andere manier is het vullen van een vlak door middel van gelijkzijdige veelhoeken.
Een gelijkzijdige veelhoek is een veelhoek met een x-aantal zijden, waarvan alle zijden
dezelfde lengte hebben, en symmetrisch geplaatst zijn ten opzichte van een centraal gelegen punt. Dit wil zeggen dat elke regelmatige veelhoek draaisymmetrisch is. De "regelmaat" zit hem in het feit dat alle hoeken en zijden even groot zijn. Zo heb je de gelijkzijdige driehoek, gelijkzijdige vierhoek, gelijkzijdige vijfhoek, ... dit zijn allemaal gelijkzijdige veelhoeken.
Beide typen vlakvullingen maken gebruik van verschillende vormen van symmetrie.

Er zijn verschillende typen vlakvullingen:
1. Regelmatige vlakvullingen
2. Semi-regelmatige vlakvullingen
3. Demi-regelmatige vlakvullingen
4. Onregelmatige vlakvullingen
Verder is er ook een verschil tussen periodische of niet-periodische vlakvullingen:
5. Periodische vlakvullingen
6. Niet-periodische vlakvullingen
En tenslotte een belangrijk onderdeel in de vlakvullingen en Eschers tekeningen:
7. Symmetrie

1. regelmatige vlakvullingen
Een regelmatige vlakvulling is een patroon dat ontstaat door een bepaald figuurtje (tegel), zó te herhalen dat het hele vlak wordt opgevuld zonder dat de tegels elkaar overlappen. Het hele patroon kan door translatie (verschuiving) in twee richtingen zo verplaatst worden, dat het weer op zichzelf terecht komt. De gebruikte figuren moeten bij een hoekpunt aan elkaar sluiten. Ze moeten dus samen een hoek van 360 graden vormen. Een vierkant en een driehoek samen in een regelmatige vlakvulling kan niet, want een regelmatige vlakvulling heeft maar één soort regelmatige veelhoek. Er bestaan 3 regelmatige vlakvullingen (zie figuur):

vlakvulling van driehoeken, vierkanten, zeshoeken
We kijken naar de hoeken van de eerste regelmatige veelhoeken: 8
1. Regelmatige driehoek: 60 graden. 60 is een deler van 360, dus hebben we 6 driehoeken nodig.
2. Regelmatige vierhoek: 90 graden, dit is eveneens een deler van 360, dus hier kunnen we perfect een regelmatige vlakvulling mee maken.
3. Regelmatige vijfhoek: 108 graden. Dit is geen deler van 360, dus met een vijfhoek kan je geen regelmatige vlakvulling maken.
4. Regelmatige zeshoek: 120 graden. Dit is een deler van 360. Met drie zeshoeken hebben we een regelmatige vlakvulling.
5. Regelmatige zevenhoek: 135 graden. 135 is geen deler van 360, dus hiermee kan je geen regelmatige vlakvulling maken.
Conclusie: Je kan alleen met een regelmatige driehoek, een regelmatige vierhoek en een regelmatige zeshoek een regelmatige vlakvulling maken.

2. semi-regelmatige vlakvulling
Een semi-regelmatige vlakvulling is vlakvulling die gevormd wordt door regelmatige veelhoeken. Zoals je kan zien zijn de zijden van de verschillende veelhoeken in één vlakvulling steeds even lang. De hoeken van de veelhoeken kunnen echter wel verschillen van veelhoek tot veelhoek.
Een semi-regelmatige vlakvulling kan je ook herkennen door de schikking van de veelhoeken. Deze schikking van de regelmatige veelhoeken vullen de ruimte in rond een punt.
Hier zijn de 8 semi-regelmatige vlakvullingen:

3. Demi-regelmatige vlakvullingen
Net als de semi-regelmatige vlakvullingen, worden de demi-regelmatige vlakvullingen gevormd door regelmatige veelhoeken. Maar demi-regelmatige vlakvullingen zijn op zich dan weer een samenstelling van drie regelmatige en acht semi-regelmatige vlakvullingen. Ze zijn meer symmetrisch, er zit meer regelmaat en structuur in.
Hieronder zie je een paar voorbeelden: 9

4. onregelmatige vlakvullingen
Let op: hier worden niet de vlakvullingen bedoeld waarin je geen enkele regelmaat kan herkennen. Het gaat om deze vlakken, die niet zijn ontworpen aan de hand van regelmatige veelhoeken. Je kunt bij deze optie dus zelf een tegel verzinnen, mits je aan de basisvoorwaarden voldoet:
1. De tegels mogen niet overlappen
2. de tegels moeten precies aansluiten, zonder gaten na te laten.
Voorbeeld:
De onderstaande tegel is makkelijk te herleiden. Zij is namelijk begonnen met een vierkant. Als we daar vanuit gaan, snijden we er aan de linkerkant een deel uit, wat we vervolgens rechts aanplakken, op dezelfde hoogte. Ditzelfde doen we ook aan de onderkant, en zo ontstaat dus een tegel waarmee je, door translatie, een onregelmatige vlakvulling kunt maken.

5. Periodische vlakvullingen

Er zijn dus 4 soorten waarin je alle vlakvullingen kan onderbrengen. Maar, deze indeling zei vooral wat over de eigenschappen van de tegels, en niet zozeer over de vlakvulling zelf. Toch zijn hier ook patronen in te ontdekken.
Je kunt een vlakvulling periodisch noemen, als die zo symmetrisch is, dat je er een raster op kunnen leggen en dat deze het figuur dan in gelijke stukken verdeelt.
Een voorbeeld van Escher:

6. Niet-periodische vlakvullingen

Deze afbeelding van Escher is een mooi voorbeeld van een niet-periodische vlakvulling. Je kunt er geen raster ontdekken waarbij de afbeelding in identieke stukken wordt verdeeld.
Dit is niet zo vreemd: dit is namelijk een onregelmatige vlakvulling, wat betekent dat de tegels aan geen enkele wiskundige regel voldoen, en er dus veel minder symmetrie aanwezig is. Er bestaan dus niet-periodische onregelmatige vlakvullingen, maar het kan ook andersom, zoals deze periodische onregelmatige vlakvulling:


7. symmetrie

Er bestaan vier soorten symmetrie. Er zijn namelijk verschillende manieren om te bewegen binnen een vlak. Je hebt translatie (verschuiving), lijnsymmetrie (spiegeling), draaisymmetrie (rotatie) en puntsymmetrie:

De rode lijn geeft aan dat de figuren verschuiven; er treedt translatie op. Het figuur wordt eenvoudig naast de ander geplaatst zonder dat het figuur van richting verandert.

De rode lijn geeft aan dat de figuren lijnsymmetrisch zijn; aan beide kanten van de lijn gelijk.

het groene punt in het midden geeft aan dat de figuren draaisymmetrisch zijn; als je de figuren laat roteren rond dit punt, komen ze, in dit geval na 120 graden weer op hun plek terecht.

Het groene punt in het midden geeft aan dat de figuren puntsymmetrisch zijn; als je de figuren laat roteren rond dit punt, komen ze na 180 graden weer op hun plek.

Escher’s verschillende werken

(zie voor afbeeldingen op het bijlagen blad)

Ieder mensenleven ontwikkelt zich. Zo ook dat van Escher. Zijn ontwikkelingen en vorderingen vindt je terug in de werken die hij maakte. Met behulp van het bijlage blad waarop een aantal van zijn werken chronologisch is gerangschikt, probeer deze ontwikkelingen duidelijk te maken.

Vroegere Periode (1916 – 1922)

Deze periode is duidelijk het begin van Escher’s carrière. Dat is helder te zien in zijn werken op dat moment; ze zitten minder bijzonder in elkaar en bestaan nog niet uit ingewikkelde wiskundige patronen. Zijn eerste werk (afbeelding 1) is een linoleumsnede van zijn vader. Het is niet opmerkelijk dat hij zijn vader als voorbeeld heeft genomen voor zijn snede, want zijn vader speelde een grote rol in Escher’s ontwikkeling tot wiskunstenaar.
Escher was erg geboeid door het scherpe contrast tussen zwart en wit, en dat zie je ook terug in zijn werken (afbeelding 2 en 3). Een logische verklaring hiervoor is, dat linoleumsneden meestal in zwarte inkt worden afgedrukt, op licht papier. Maar ook wanneer hij tekent, kiest hij snel voor deze contrasterende kleuren.
Waar Escher in het begin vooral veel linoleumsneden maakt, waren het vanaf 1919 vooral houtgravures waar hij zijn ei in kwijt kon. Jessurun de Mesquita speelde hierin een grote rol, hij had namelijk een voorliefde voor houtsneden op langs hout. Vanaf 1931 zou Escher ook kops hout gebruiken, omdat je hierop gedetailleerder kan werken.
1 van zijn laatste werken van deze periode (afbeelding 4) is een soort en met voorproefje op zijn Italiaanse periode. Hierin vind je de regelmatige vlakvulling terug waar Escher op latere leeftijd veel meer gebruik van zou gaan maken.

Italiaanse Periode (1922 – 1935)

In deze periode tekende Escher vooral landschappen. Typerend zijn de invalshoeken: op afbeelding 5 zie je de toren van Babel, van bovenaf gezien. Dat is een bijzonder perspectief en het geeft ook iets aan; de toeschouwer kijkt op de zwoegende bouwers neer, alsof ze zich de hemel in kunnen bouwen, maar de toeschouwer altijd boven hen zal blijven staan.
Naast landschappen tekent hij ook vaak bouwwerken en straatbeelden. Afbeelding 6 is hier een voorbeeld van. Perspectief is iets wat Escher steeds meer doorgrondt. Daarom is de overgang naar het tekenen van verschillende dimensies geen onlogische stap. Dat tref je dan ook aan op 1 van zijn eerste verkenningen hiernaar, afbeelding 7. In de eerste dimensie bevinden zich de spiegel en de voorwerpen die daarvoor staan. In de tweede dimensie zie je de weerspiegeling van de straat, in de spiegel weergegeven. In de derde dimensie zie je dat de voorwerpen die voor de spiegel liggen, in de spiegel zelf terugkaatsen, en hierdoor ook deel van het straatbeeld worden.

Escher is ook erg geïnspireerd door moorse decoraties. Maar daar zien we in deze periode nog weinig van terug. Zijn ervaringen bij het moorse in Spanje zullen we in de volgende perioden gaan terugzien.

Zwitserland en België (1935 – 1941)

Escher belandt in Zwitserland omdat hij walgde van het in Italië opkomend fascisme. Zwitserland bleek echter geen goede voedingsbodem voor hem te zijn. Hij schijnt ooit gezegd te hebben: “hoe kan ik geïnspireerd raken door sneeuw? Het is onmogelijk!”. Hij heeft dan ook maar 1 landschapsprent gemaakt. Omdat hij geen inspiratie om zich heen vond, is hij zich gaan focussen op symmetrische werken. Nu staken de ondervindingen die hij gehad had bij de moorse kunst, om de hoek. Dat zie je terug in zijn symmetrische werk ‘ontwikkeling I’ , een toepasselijke titel (afbeelding 9). Niet alleen het vierkant ontwikkelt zich tot een salamander (of andersom), ook Escher talenten op dit gebied maken grote vorderingen. Hij maakt dan nog wel gebouwen (afbeelding 10), maar vooral afbeelding 11 laat de overgang goed zien: links zie je gebouwen, die langzaam overgaan in een schaakspel, wat weer uitmondt in pure vierkante vlakken. Escher heeft de weg tussen kunst en wiskunde gevonden.

Terug in Nederland (1941 - 1954)

Omdat Escher zich duidelijk niet thuis voelde in Zwitserland, verhuisde hij terug naar Nederland. Achteraf gezien een goede keus, Escher’s periode in Nederland blijkt zijn meest productieve en succesvolle te zijn. Zijn thema’s worden verder uitgebreid; naast vlakvulling begint Escher nu ook met onmogelijke ruimtelijke objecten. Ook breidt hij zijn perspectiefvaardigheden uit en maakt hij in zijn werk vaker gebruik van verschillende illusies. Afbeelding 12 laat een werk zien, waarin hij gebruik maakt van vlakvulling & spiegeling en spreekt in zijn werk vaak het ruimtelijk inzicht wat Escher bevat.
Het effect bij afbeelding 13 zorgt ervoor dat het balkon 4 keer zo groot is vergeleken met de rest. Afbeelding 14 is 1 van zijn weinige mezzotinten. Mezzotinten kosten veel tijd en geduld om te maken; Escher heeft er in totaal ‘maar’ 7 gemaakt. Als je Escher bij deze plaat recht in de ogen kijkt zie je een doodskop, … een verrassend effect.

Escher’s succesperiode (1954 – 1972)

De periode waarin Escher de meeste erkenning en waardering kreeg, waren de laatste ca. 20 jaren van zijn leven. Dit was ook de periode waarmee hij met oneindigheidsbenaderingen begon, en simultane werelden. Allereerst een erg bekende plaat ‘Belvedère’ (afbeelding 14), waar Escher het oog voor de gek houdt met de architectuur van het gebouw. Door de plaatsing van de trap in combinatie met de pilaren raak je in de war. Ook zitten in deze plaat nog meer verborgen ‘grapjes’ : de man onderaan op het bankje, heeft de onmogelijke kubus in zijn handen, wat hij probeert op te lossen. De man achter de tralies, lijkt achter normale tralies te zitten, die veelvoudig voorkomen in Rome. De tralies zijn opgebouwd uit staven met daarin gaten waar een andere staaf doorheen geschoven kan worden. Maar de ramen in Rome zijn allemaal volledig uit elkaar te schuiven tot een pakketje losse staven. Als je goed kijkt, dan zie je dat dit bij het tralieraam op de prent niet lukt. Escher heeft hier dus z'n eigen 'onmogelijke' tralieraam gemaakt. Op afbeelding 15 past Escher oneindigheidsbenadering in zijn ‘Cirkel Limiet II’ . En op afbeelding 16 staat de bekende mobius band.


Eigen mening

Oneindigheidsbenaderingen, onmogelijke ruimtelijke objecten, regelmatige vlakvulling; Escher is naar mijn mening een bijzonder, en bijzonder begaafd persoon. Ondanks het feit dat hij geen wiskundige opleiding genoten had, was hij toch in staat om de meest ingewikkelde wiskunde in zijn kunstwerken te gebruiken. Iets waar ik veel respect voor heb; ik die zelf wiskunde volg, vond het soms zelfs moeilijk te begrijpen hoe hij alle tekeningen vulde (behalve ‘prentententoonstellingen’, maar die kon uiteindelijk ook gevuld worden!). Als persoon waardeer ik zijn nuchterheid. Met uitspraken als ‘Er komen telkens jongelui die zeggen: u maakt ook opart. Ik weet helemaal niet wat dat is, opart. Dit werk maak ik al 30 jaar’, geeft Escher aan dat hij niet gebruik maakt van ‘vakjargon’, en dat hij gewoon zijn eigen ding doet en blijft doen. Ook vind ik het leuk dat hij zegt: ‘Ik word niet volwassen. In mij is het kleine kind van vroeger’. Ondanks dat hij met ‘grote mensen zaken’ bezig is, de wiskundige en grafische technieken vereisen inzicht en vaardigheid en ervaring die je doorgaans alleen bij volwassenen aantreft, blijft hij toch in contact staan met het kind wie hij was, en met de daarbij gepaard gaande creativiteit, vindingrijkheid, en speelsheid.

Wat betreft zijn werk; ik ben erg onder de indruk van zijn kunstwerken. Niet alleen wiskundig gezien, maar ook vanuit de kunstzinnige invalshoek. Zijn ideeën vind ik vaak origineel en technisch goed uitgewerkt. Het is netjes (ja, zelfs ík vind dat (in dit geval) mooi), en het blijft me verrassen. In zijn werk vind je een perfecte combinatie tussen wiskunde en kunst, waarvan ik eerst niet zou kunnen vermoeden dat deze überhaupt te combineren waren. Ik verbaas me altijd wel ergens over, bij zijn werken. En ik ontdek altijd wel weer iets nieuws. Vroeger had mijn moeder eens een agenda van Escher. Ik heb hem dat jaar heel vaak even uit het laatje gepakt om hem te bekijken. Nadat het jaar verstreken was, mocht ik de mooiste plaatjes eruit knippen, en die heb ik toen op mijn kamer gehangen. Het waren ‘Eye’, ‘Three Worlds’, en ‘Hand with Reflecting Sphere’. Ze zijn te zien op het bijlage blad.
Bij het zien van zijn werken krijg ik altijd het gevoel dat de grenzen van kunst vervagen. Sowieso, de grenzen van het menselijk perspectief vervagen; wat je in werkelijkheid ziet, is niet in overeenstemming met de werkelijkheid. Je gaat bij jezelf te rade; ‘wat houdt mij voor de gek?’, en uiteindelijk blijkt het Escher te zijn, die de regels van onze driedimensionale werkelijkheid heeft omzeild. Zijn werk vervaagt de grens tussen realiteit en beleving. En dat vind ik heel bijzonder.

Log in op Scholieren.com

Maak een profiel aan of log in om te stemmen.

Geef dit een cijfer

Omdat je geen profiel hebt kan je stem niet aangepast worden.
Maak hier een profiel aan.


Let op

De verslagen op Scholieren.com zijn gemaakt door middelbare scholieren en bedoeld als naslagwerk. Gebruik je hoofd en plagieer niet: je leraar weet ook dat Scholieren.com bestaat.

Heb je een aanvulling op dit verslag? Laat hem hier achter.

voeg reactie toe

Sneller en makkelijker reageren?
Login of maak een profiel aan

7514
 

reacties

 
ik vind dit een goed werkstuk. Hier kan ik ook info voor mijn werkstuk over Escher uit halen. bedankt!
door Anne-Marije (12) (reageren) op 1 april 2013 om 21:05