Gulden snede

Inhoudsopgave

· Inleiding
· Wat is de gulden snede?
· Wat is de betekenis van de gulden snede?
· Wiskundige verbanden
o Gelijkvormige vlakverdeling
o Pentagram
o De rij van Fibonacci
· De Gulden Snede in de architectuur
o Piramides
o Parthenon
· De Gulden Snede in de kunst
· De Gulden Snede in de biologie
o Primordia
o De trap in de spiraal
· De Gulden Snede in de natuurkunde
· Conclusie
· Bronvermelding

Inleiding

In dit werkstuk zullen we ons verdiepen in de gulden snede. De gulden snede is een maatverhouding die vaak voorkomt in de natuur, net als de natuurlijke logaritme en Pi, centrale getallen in vele aspecten. Er zijn veel mensen die zich erg verdiepen in de snede, en zoveel mogelijk casussen zoeken die centraal staan om deze verhouding. Dit ‘magische’ getal, waarvan de eerste vergelijking is opgesteld in de 4e eeuw voor Christus door de oud-griek Eudoxus, zou later grote gevolgen hebben voor onder meer de kunst en de architectuur. De centrale vraag in dit verslag:

· Wat is precies de gulden snede?

Verder zullen we ook nog ingaan op de volgende vragen:
· In onder meer welke aspecten in de wiskunde komt de snede voor en wat zijn de eigenschappen? Aan de hand van tekst en voorbeelden
· Wat is het verband tussen de rij van Fibonacci en de gulden snede?
· Welke werken in de architectuur / bouwkunst zijn er zoal te vinden met de verhouding?
· Komt de verhouding ook voor in overige kunst?
· Is de snede er ook in de natuur?
· Wat is mode-locking?

Wat is de gulden snede?

Al eeuwen geleden probeerde men in de kunst en de architectuur schoonheid te garanderen door het toepassen van een maatverhouding. De Griek Eudoxus, die in de 4e eeuw voor Christus aan Plato’s Academie studeerde, kwam aan deze verhouding. Deze maatverhouding staat bekend als de gulden snede (Lat.: sectio aurea; proportio divina). De gulden snede speelde, vooral in de renaissance, een belangrijke rol in de beeldende kunst en architectuur als norm voor harmonische verhoudingen. De gulden snede is de verdeling in uiterste en middelste reden, dat is de verdeling van een lijnstuk in twee delen, waarvan het kleinste zich verhoudt tot het grootste als het grootste tot het geheel (0,618:1 of ca. 5:8)

Hoe kwamen de mensen aan deze verhouding? We zullen door middel van een constructie en vergelijkingen laten zien wat de Gulden Snede is. (Dit is één van de vele constructies)



Driehoek ABP
BP = BM = PQ
M is het midden van AB

Stel: BC = 1 en AC = x
Dan is AB = x + 1

Het lijnstuk AB (waarvan we de lengte 1 nemen) wordt in tweeën gedeeld door een punt C, zodat de verhouding AB : AC gelijk is aan de verhouding AC : BC
Nu kunnen we de volgende vergelijking opstellen:

Met kruiselings vermenigvuldigen kunnen we deze vergelijking omschrijven tot:

Vervolgens lossen we deze 2e graadsvergelijking op met behulp van de ABC-formule:

x = -b +/- Ö (b² - 4ac) = -1 +/- Ö (1² - 4.1.-1)
2a 2.1

We vinden nu x = (–1 + Ö5)/2 » 0.618 of x = (–1 – Ö5)/2 » –1.618. We weten dat de oplossing een positief getal moet zijn, dus alleen x = (–1 + Ö5)/2 voldoet.
Het getal (–1 + Ö5)/2 noemen we de Gulden Snede. We geven de Gulden Snede weer met de Griekse letter j (» 0,61803398875). De Gulden Snede heeft ook de eigenschap dat 1/j = 1 + j. Dit getal wordt soms ook de Gulden Snede genoemd. We geven dit getal 1 + j weer met de hoofdletter F (dus F » 1,61803398875).


Wat is de betekenis van de Gulden Snede?

‘Gulden Snede’ is een populaire benaming voor een speciaal verhoudingsgetal, waarover veel verhalen de ronde doen. Zo zou het menselijk oog een voorkeur hebben aan voorwerpen die, qua onderlinge lengte-breedte, in verhouding staan met de Gulden Snede. De gulden snede is om verschillende redenen interessant:

Ten eerste is het een klassieke opvatting dat de Gulden Snede "mooie" verhoudingen geeft. Al in de oudheid baseerden de Grieken de ontwerpen van gebouwen op de Gulden Snede.
Zelfs de Egyptenaren hadden de verhouding toegepast in het bouwen van de pyramides. Later kwam dit concept opnieuw in de mode in de Renaissance, en ook vandaag de dag zijn er kunstenaars en architecten die de Gulden Snede bij de vormgeving van hun werk toepassen. Hierop komen wij later uitgebreid op terug. Een voorbeeld van "mooie" verhoudingen zie je in de onderstaande afbeelding. Een ervaren schilder of fotograaf zal de horizon meestal niet midden in beeld plaatsen, maar bij voorkeur een stuk daarboven of daaronder. Ook zal het hoofdsubject bij een dergelijk werk als regel niet in het midden staan. Vanzelfsprekend gaat een fotograaf daarbij niet op zijn rekenmachine de Gulden Snede op meerdere decimalen nauwkeurig berekenen; in sommige fotoboeken vind je de vuistregel dat het motief op 1/3 of 2/3 van het beeld moet staan.

Ten tweede heeft de Gulden Snede interessante wiskundige eigenschappen.

Ten derde blijkt de Gulden Snede (vaak in combinatie met de getallen van Fibonacci) ook werkelijk in de natuur voor te komen. Zo kun je de Gulden Snede herkennen in de groei van bepaalde schelpen, de structuur van dennenappels en de rangschikking van zonnepitten.

Enkele feitjes over de gulden snede:
- In de boekdrukkunst wordt de lengte en de breedte van een bladzijde (bladspiegel) bepaald in verhouding tot de grootte van het bedrukte gedeelte (zetspiegel). Ook hier speelt de Gulden Snede een rol.

- De verdeling tussen goede en slechte eigenschappen bij de hoofdpersonen in de sprookjes van Grimm is evenredig met de Gulden Snede.

- Het symbolische kruis van Christus was ontworpen volgens de Gulden Snede.

- Het is niet zo dat de mens een Gulden Snede verhouding verkiest als esthetisch ideaal. Uit onderzoek is gebleken dat de mens, als op het op onderlinge verhouding aankomt, het meest gevoelig is voor symmetrie, een verhouding van 1 : 1 dus. De Gulden Snede verhouding doet echter wel altijd harmonisch aan, en is dus een geliefd gezicht.


Wiskundige verbanden met de Gulden Snede

De gulden snede is vaak terug te vinden in de wiskunde, wij zullen hieronder enkele voorbeelden geven van wiskundige verbanden.

Gelijkvormige vlakverdeling
De gulden snede maakt een bijzondere vlakverdeling mogelijk, namelijk een waarbij uitsluitend vierkanten van verschillende grootte worden gebruikt.

AB = BC = 1

M is het midden van AB.

M is het middel-punt van de cirkel

F ligt in het verlengde van AB en op de cirkel. Zo wordt BF = j

Rechthoek ADFG heeft lengte 1 + j en breedte 1. Als we nu aan de linkerkant een vierkant met zijde 1 wegknippen, dan houden we rechts een rechthoek met lengte 1 en breedte j over. Is nu j gelijk aan de gulden snede (j » 0,61803...), dan is de kleinere rechthoek gelijkvormig met zijn voorganger! Een rechthoek met deze verhoudingen noemen we een Gulden Rechthoek.
We kunnen dit proces herhalen: (zie afbeelding hieronder) we verdelen de Gulden Rechthoek BCFG weer in een vierkant met zijden j en een nog kleinere gulden rechthoek (met lengte j en breedte j2.) Op deze manier kun je telkens kleinere vierkanten afsplitsen, uiteindelijk zullen de vierkantjes zo klein zijn dat ze met het oog niet meer zijn waar te nemen. We zien in de Gulden rechthoek ook een logaritmisch spiraal ontstaan.


Vijfvoudige symmetrie
De gulden Snede blijft ook vaak voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie. Zie de volgende voorbeelden:

Regelmatige vijfhoek
Hiernaast zien we een regelmatige vijfhoek. Zoals we kunnen zien is driehoek ABS ~ driehoek SBC

Hieruit volgt:
AB : SB = BS : BC
of ook
AB : AC = AC : BC

Het punt C verdeelt de diagonaal AB dus in uiterste en middelste reden.
De verhouding AC : BC is dus 1: j

Pentagram
Het pentagram (vijfhoekige regelmatige ster) kan ontstaan door de zijden van een regelmatige vijfhoek twee aan twee te verlengen.
We kiezen de zijde van de regelmatige vijfhoek als 1. Zoals we nu in het pentagram kunnen zien is elk van de vijf driehoeken is een gelijkbenige driehoek waarvan de zijden zich verhouden als
1 : F (=j : 1).


ABCDE Is een regelmatige vijfhoek, waarvan alle vijf de hoeken gelijk zijn, namelijk (540°/5=) 108°.

Hoek ABC = 108°
Hoek TAB = hoek ABT = 180 – 108 = 72°
Hoek ATB = 180 – 72 – 72 = 36°

Hoek BTP = 36/2 = 18°

Cos(hoek PBT) = 0,5 / BT
Cos(72°) = 0,5 / BT
BT = 0,5 / cos(72°) = 1,6180...= F

De rij van Fibonacci
In 1202 schreef de wiskundige Leonardo Pisano (beter bekend als Fibonacci) een boek ("Liber Abaci" - Boek van het Telraam. Hij lost daarin allemaal problemen uit het dagelijks leven op met behulp van de Arabische algebra.
Hij behandelt o.a. het "konijntjesprobleem", ook bekend als de rij van Fibonacci.

Stel: Een konijnenpaar zet elke maand een jong konijnenpaar op de wereld, en dat na 2 maanden ook dit paar geslachtsrijp is en elk maand een jong paar voortbrengt.
Als ze allemaal in leven blijven, krijg je het volgende beeld:


Aantal Aantal Maanden Konijnenparen
1 Maand 1 Paar
2 Maanden 1 Paar
3 Maanden 2 Paren
4 Maanden 3 Paren
5 Maanden 5 Paren
6 Maanden 8 Paren
7 Maanden 3 Paren
8 Maanden 21 Paren
9 Maanden 34 Paren
10 Maanden 55 Paren

Tussen de getallen in deze reeks is een opmerkelijk verband te ontdekken: Elk getal is namelijk de som van de twee voorgaande getallen.
De reeks kun je oneindig voortzetten: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, enz.

De rij van Fibonacci en de Gulden Snede staan op een aparte manier met elkaar in verband.
Als je twee opeenvolgende getallen van Fibonacci’s reeks door elkaar deelt, evenaart dit quotiënt het getal de Gulden Snede.


Aantal Maanden Aantal Paren Deling
1 Maand 1 Paar
2 Maanden 1 Paar
3 Maanden 2 Paren
4 Maanden 3 Paren
5 Maanden 5 Paren 5 : 3 = 1,66667
6 Maanden 8 Paren 8 : 5 = 1,60000
7 Maanden 13 Paren 13 : 8 = 1,62500
8 Maanden 21 Paren 21 : 13 = 1,61538
9 Maanden 34 Paren 34 : 21 = 1,61905
10 Maanden 55 Paren 55 : 34 = 1,61765

Hoe verder je de Fibonacci-reeks volgt, hoe beter het quotiënt klopt met het getal F (=j : 1).

De Gulden Snede in de architectuur

De gulden snede heeft in het verleden een grote rol gespeeld in de architectuur. Vooral in de klassieke oudheid werd de Gulden Snede een zeer gebruikelijke verhouding. Niet alleen de Griekse beschaving maakte gebruik van de Gulden Snede, maar uit onderzoek is gebleken dat er bij de bouw van piramides ook gebruik werd gemaakt. We zullen op beide beschavingen ingaan en laten zien hoe en waar de gulden snede werd toegepast.

Piramides
Piramides werden door de oude Egyptenaren gebruikt als begraafplaats voor de farao. De farao werd in zijn eigen piramide begraven en nam veel van zijn rijkdom mee het graf in. De bouw van deze piramides nam jaren in beslag. Hoe machtiger de farao, hoe grotere piramide hij voor zichzelf liet bouwen. Bijna alle piramides zijn gebouwd tussen 2700 en 1700 v. Chr. Een aantal piramides is nog overgebleven en deze zijn dan ook een gewild onderzoeksobject voor archeologen. Helaas zijn veel piramides geplunderd, of gedeeltelijk afgebroken voor bouwmateriaalNaast de schat aan historisch materiaal, bieden ze ook mogelijkheden tot wiskundig onderzoek. Zo blijkt ook de Gulden Snede een rol te spelen in de architectuur van sommige piramides. Een goed voorbeeld daarvan is de Grote Piramide in Gizeh, gebouwd rond 2500 voor Christus.


De hellingshoek die de schuine vlakken van deze piramide maken, is 51,85 graden. Wanneer we een dwarsdoorsnede van de piramide maken, op deze manier;

dan krijgen we de volgende driehoek:

Hierin is a=51,85 graden. Als we nu de schuine zijde lengte 1 geven, dan kun je uitrekenen dat de horizontale zijde – dat is de halve breedte van de piramide – lengte j heeft.
(cos(51,85°) = 0,5 breedte / 1 dan is 0,5 breedte = 1 * cos(51,85°) = 0,617…=j) De gulden snede komt dus terug in het ontwerp van de piramides in Egypte. Het is mogelijk dat dit toeval is, maar we kunnen alleen maar raden. Wetenschappers denken dat zo’n constructie van piramides beter bestand zal zijn tegen aardbevingen. Misschien daarom dat de piramides nog bewaard zijn gebleven.

Parthenon
Is het bij de Egyptenaren twijfelachtig of ze de Gulden Snede kenden, de Griek Euclides kende dit getal zeker. Het komt namelijk voor in zijn geschriften. (Overigens kreeg het getal pas rond 1835 de naam Gulden Snede). Euclides doet in zijn werken geen verwijzingen naar de architectuur. Toch is de Gulden Snede door de Grieken toegepast in hun bouwwerken en steenhouwwerk. Het mooiste voorbeeld vind je waarschijnlijk nog wel in het Parthenon.

Het Parthenon is een oude Griekse Tempel, gewijd aan Athene, de godin van de wijsheid. Het stond op de Akropolis, de tempelberg in Athene. Er is nu nog een ruïne van over. De tempel is ontworpen door Ictinus en Callicrates, volgens wiskundige principes. Het beeldhouwwerk is gemaakt onder leiding van Phidias. Hij is degene naar wie de Gulden Snede (Phi) vernoemd is. Het is gebouwd tussen 477 en 438 voor Chr. Deze tempel bestaat, zoals de meeste Griekse tempels, uit een zuilenrij met daarop een dak. De driehoekige voorkant van zo’n dak heet een timpaan, de rand van het dak de fries. Het Parthenon is een tempel in dorische stijl. Het meest kenmerkend aan die stijl zijn de eenvoudige zuilen die gebruikt werden. De bouw duurde van 477 tot 438 voor Christus. De tempel is gebouwd in Dorische stijl, en heeft een grondoppervlak van 69,5 bij 30,5 meter. De zuilen zijn 10,4 meter hoog en 1,9 meter in diameter.

Op de bovenste afbeelding is aangegeven waar de Gulden Snede is terug te vinden.

Eind zesde eeuw wordt Griekenland christelijk en daarmee werd het Parthenon veranderd in een kerk In 1458 werd Athene ingenomen door de Turken en ging de voormalige tempel dienst doen als moskee. Volgens wilde verhalen zou er o.a. ook een harem van de Turkse bevelhebber in gehuisd hebben. Toen de Venetianen in 1678 Athene aanvielen, werd het Parthenon gebruikt als opslagplaats voor munitie. Een groot deel van het Parthenon werd vernietigd door een voltreffer van diezelfde Venetianen, en heden ten dagen staat de ruïne van het Parthenon open voor bezoekers, op de Akropolis.

Na de Grieken die de Gulden Snede hebben ontdekt, zijn er nog vele kunstenaars geweest die de Gulden Snede hebben gebruikt voor de verhouding in hun kunstwerk. Vooral in de Renaissance, omdat er toen veel aandacht aan de verhoudingen werd besteed. Die verhoudingen moesten in heel het gebouw worden toegepast. In renaissance gebouwen zie je veel horizontale lijnen. De gebouwen zien er massief en gesloten uit, maar wel met vele verhoudingen volgens de gulden middenweg.

De Gulden Snede in de kunst

Niet alleen in de architectuur werd de Gulden Snede toegepast, maar ook het is ook vaak terug te vinden in de kunst. De reden hiervoor is dat de Gulden Snede harmonische verhoudingen geeft; de Gulden Snede is fijn om naar te kijken. Na de ontdekking van de Gulden Snede door de Grieken zijn er nog vele kunstenaars geweest, die de Gulden Snede als verhouding in hun kunstwerken gebruikt hebben. Zo ook de kunstenaars van de Renaissance.
De Renaissance grijpt terug op de bouwkunst uit de oudheid en neemt afstand van de gotiek. Renaissance betekent wedergeboorte, de wedergeboorte van de klassieke beschaving. Kunstwerken moesten volgens een universele maat worden gebouwd. De verhoudingen (hoogte, lengte en breedte) waren dan dus ook erg belangrijk in deze kunststroming. Hieronder is duidelijk afgebeeld hoe de Gulden Snede werd toegepast.

De Romantiek is een stroming in de kunst, met name de schilderkunst, literatuur en muziek. De Romantiek beheerst ongeveer de hele 19e eeuw. Een van de kenmerken is het escapisme, het zoeken naar een ideale wereld, vluchten uit de ellende van het alledaagse leven. Men probeerde deze ideale wereld te vinden in het verleden en het is juist hierin dat met hernieuwde belangstelling krijgt voor de Gulden Snede. Belangrijk om op te merken is ook dat de Gulden Snede in deze periode (namelijk in 1835) haar naam krijgt. In deze tijd werd de Gulden Snede een ware cultus. De Romantiek heeft invloed gehad op latere kunstenaars. Een sprekend voorbeeld is ‘Le Corbusier’. Er zijn ontwerpers van na de Romantiek die daadwerkelijk hun inspiratie ontleenden aan de bijzondere betekenis die aan de Gulden Snede werd toegekend. We zien hiernaast bijvoorbeeld van ‘Le Corbusier’. Volgens hem was het menselijke lichaam verdeeld volgens de Gulden Snede. De navel, zo beweert hij, verdeelt het lichaam in twee delen die als verhouding de gulden snede hebben. We zien hier ook de getallen van de rij van Fibonacci terug: 432 + 689 = 1130 en 698 / 432 = 1,61…
De Gulden Snede in de biologie

De Guldens snede is niet zomaar een getal dat door mensen is bedacht. De Gulden Snede is, net als het getal p vaak terug te vinden in de natuur. Zoals Le Corbusier al stelde, is het menselijk lichaam volledig in te delen volgens Gulden Snede verhoudingen. Er zijn een aantal aanhangers van deze theorie geweest, die het diagram verder hebben uitgewerkt. De mens van Vitruvius, een tekening uit het schetsboek van Leonardo da Vinci (afbeelding hiernaast), is vernoemd naar de architect Vitruvius. Op de schets zijn de verhoudingen van de gulden snede te zien: de afstand tussen het hoofd en het middel verhoudt zich tot de afstand van het middel tot de voeten zoals deze zich verhoudt tot de totale lichaamslengte.

Primordia
Veel planten dragen hun zaden in prachtig slingerende, spiraalvormige patronen.
Dit is vooral mooi te zien in rijpe zonnebloemen. Wat heeft deze spiraal te maken met de Gulden Snede? Belangrijke delen van bloemen, zoals bloemblaadjes, zaden en kelkbladeren, groeien uit kleine stukjes plantenweefsel. In het groeiproces ontstaat nieuw weefsel, dat uitgroeit tot nieuwe delen van een plant. Deze stukjes weefsel (primordia) ontstaan op vaste plaatsen, en de hoek tussen opeenvolgende primordia ligt rond de 137,5°. Deze hoek vind je ook terug bij de spiralen in de zonnebloem: zaden die uit opeenvolgende primordia groeien liggen met een hoek van 137,5° uit elkaar.

Je kan hoeken meten op twee manieren, de interne en de externe hoek. De verhouding tussen deze twee hoeken verklaart het verband tussen de zonnebloemzaadjes en de Gulden Snede.

Als de interne hoek 137,5° is, dan is de externe hoek: 360° - 137,5° = 222,5°. Deze 2 hoeken zijn nu echter precies de hoeken die we zien in de links- en rechtsdraaiende spiralen die we kunnen waarnemen in de zonnebloem. Externe hoek : interne hoek = 222,5 : 137,5 = 1,618. Een hoek van 137,5° wordt daarom een Gulden Hoek genoemd. Een andere manier waarop we de Gulden Snede terug zien komen in de bloemenwereld is via de aantallen uit de rij van Fibonacci.
Zo is gebleken dat bijv. het aantal kroonblaadjes van een heleboel bloemen gelijk is aan die van een getal uit de reeks van Fibonacci, bijv 21 of 34. Dit geldt ook weer voor de
eerdergenoemde spiralen. Als we namelijk kijken naar het aantal spiralen dat in zo’n patroon zit, krijgen we vaak ook iets als 34 linksom en 55 rechtsom.

De trap in de spiraal
De natuur heeft er goede reden voor om voor de Gulden Snede te kiezen. Bij het gebruik van de Gulden Snede groeperen primordia zich zeer efficiënt, vrijwel alle beschikbare ruimte wordt goed benut. Zo krijg je een stevige en compacte zaadbol. Hieronder nog een voorbeeld van bladeren waar de Gulden Snede is terug te vinden: bij plant A moeten we, als we kloksgewijs ronddraaien, 3 rondjes maken om bij een blad te komen dat weer boven de vorige staat. Tijdens die drie rondjes passeren we 5 bladeren. Draaien we tegen de klok in, dan moeten we 2 rondjes maken. De getallen 2, 3 en 5 zijn opeenvolgende getallen uit de reeks van Fibonacci. Omdat bij dit voorbeeld kleine getallen optreden, zou men kunnen zeggen dat dit een toeval is. Maar er zijn ook planten te vinden, die de bladrangschikking volgens voorbeeld B hebben. Bij deze plant moet u 5 rondjes (met de klok mee) of 3 rondjes (tegen de klok in) draaien om een blad te vinden, dat weer boven een ander blad staat. Als men dat doet, passeert men 8 bladeren. Ook hier vindt men drie opeenvolgende getallen uit de reeks. De bladrangschikking volgens voorbeeld A vindt men onder andere bij de eik, de kers en de appel. Die van voorbeeld B bij de populier, roos en de peer. Bij de wilg en de amandel komt de bladrangschikking overeen met de getallen 5 (tegen de klok in), 8 (met de klok mee) en 13 (het aantal bladeren tussen twee boven elkaar staande bladeren).

Bepaalde schelpen delen hun kamers in met de j-verhouding. De schelp “Nautilus Pompilius” is hier een goed voorbeeld van. Naarmate het dier groter wordt, maakt het steeds grotere kamers in zijn schelp, terwijl het de kleinere kamers afsluit. De relatieve volumes van de opeenvolgende kamers verhouden zich volgens de Gulden Verhouding. De schelp heeft de vorm van een logaritmische spiraal. Deze spiraal hebben we ook al teruggezien in de Gulden Rechthoek.

De Gulden Snede in de natuurkunde

De Gulden Snede heeft in de natuurkunde niet een heel belangrijke rol gespeeld, tenminste niet zo belangrijk als het getal p. De Gulden Snede heeft wel een betekenis in de theorie van dynamische systemen en chaotisch gedrag. In de 17e eeuw ontdekte Christiaan Huygens (zie afbeelding hiernaast) zijn golftheorie van licht, zijn ontdekking van de ringen van Saturnus en zijn uitvinding van de slingerklok. Die slingerklok is heel interessant voor de Gulden Snede. Huygens ontdekte dat als twee klokken naast elkaar hingen aan een niet al te stevige wand, ze de neiging hadden gelijk te gaan lopen. Ze beïnvloeden elkaar dus. We gaan hier niet in op de oorzaak, maar wel het gevolg. De klokken gaan samen lopen, ook al zijn de trillingstijden van de afzonderlijke klokken een fractie anders. Dat verschijnsel heet ‘mode locking’. Mode locking treedt niet alleen op bij de frequentie waarmee een systeem in trilling is, maar ook bij veelvouden van die frequentie. Voor Huygens betekendt dit dat de slingertijden ook in elkaar gekoppeld kunnen raken in een verhouding van 1:3 of 3:5. De afstand van de klokken ten opzichte van elkaar heeft invloed op deze gebeurtenis. Hoe dichter de klokken bij elkaar staan, des te gemakkelijker het verschijnsel optreedt.

Mode locking treedt ook op bij de beweging van bepaalde hemellichamen in ons zonnestelsel. Een bekend voorbeeld is de beweging van Pluto en Neptunus. De omloopstijden van deze planeten om de zon verhouden zich als 3 : 2 als gevolg van de aantrekking van Neptunus op Pluto. Men spreekt in dit verband ook wel van resonanties.


Maar wat heeft dit allemaal dan te maken met De Gulden Snede? De theorie van dit soort aan elkaar gekoppelde systemen komt de Gulden Snede voor als de verhouding tussen twee frequenties waarbij mode locking het moeilijkst optreedt. Als de koppeling tussen twee systemen sterker gemaakt wordt is de kans groter dat ze gevangen worden door een rationeel getal. Daardoor zal er bijna altijd mode locking komen. Behalve bij φ of Φ. De Gulden Snede is een verhouding die zich door alle getallen het minst laat beïnvloeden. Als je dus mode locking wilt voorkomen moet je de verhouding kiezen volgens de Gulden Snede.

Conclusie

In dit werkstuk hebben we geprobeerd de verhouding van φ : 1, oftwel de gulden snede uitéén te zetten. Dit magische getal met de waarde 0,618 is in de wiskunde een getal wat erg apart tot uitdrukking komt in onder andere pentagrammen, de rij van Fibonacci en overige algebraïsche vergelijkingen. Ook is de verhouding veelvuldig gebruikt in kunst en architectuur. Verder is de snede te vinden in de trillingenleer en terug te vinden in de natuur. Een magisch getal dus, dat zoveel malen en in zoveel aspecten in de wereld terugkomt. Er zijn ontelbaar veel verschillende voorbeelden uit de wereld te vinden, die op één of andere manier samenhangen met de gulden snede. Een interessant getal dus, wat zeker de moeite van het bestuderen waard is.

Bronvermelding

Wij hebben onze informatie uit de onderstaande bronnen geput.

Boeken:
· ‘De Gulden Snede’ van Wim Kleijne Ton Konings
· Algemene Encyclopedie Winkler-Prins
· Wiskunde NG/NT 3 en 7

Internet; alle sites zijn tussen ongeveer 1 en 28 maart bezocht:
· www.guldensnede.4t.com/custom.html
· PDF: pseudo wiskunde
· www.arsetmathesis.nl/arthesis/mondriaan.htm
· http://145.18.11.213/profielwerkstukken/PWS_Wiskunde.cfm
· http://145.18.11.213/profielwerkstukken/object.cfm?objectID=7AFCB0D1-B00D-462C-855571269A3F7768
· www.phys.tue.nl/TULO/info/guldensnede/
·
we.vub.ac.be/admin/pr-informatie/PRinformatie-wiskunde.html
· www.pandd.demon.nl/sectioaurea.html
· mediatheek.thinkquest.nl/~lla066/vakken.html
· www.wiskundeweb.nl/Wiskundegeschiedenis/Opdrachten/POguldsnede.htm
· www.pascal-online.nl/assets/pascal/ PODeGuldenSnedeHVN.doc
· www.kunstbus.nl/verklaringen/gulden-snede.html

Overige media:
· Encarta 99 (elektronische encyclopedie)