Inleiding:
Er is veel te vertellen over de geschiedenis van de wiskunde. Want er zijn veel beroemde wiskundige geweest en hebben veel nu heel bekende onmisbare dingen uitgevonden. Ik neem het belangrijkste deel van de geschiedenis van de wiskunde door in dit werkstuk en verder geef ik nog een chronologisch overzicht van de beroemde wiskundige in het vorig millennium. Iets wat tegenwoordig vaak gebruikt wordt om iets uit te rekenen en waarbij nu een rekenmachine onmisbaar is is het getal pi. Aangezien het teken niet op mijn toetsenbord staat kan ik dat niet geven.
Hoofdstuk 1: Magie van pi:
De geschiedenis van pi:
De geschiedenis van pi is zeer uitgebreid en boeiend. In de meeste schoolboeken wordt bij een eerste kennismaking met pi meestal wel kort iets verteld over de geschiedenis van pi, maar soms ook helemaal niet.
De decimalen van pi:
Om de decimalen van pi te berekenen zijn er verschillende methoden . Elke decimaal van pi kun je in pricipe berekenen. Maar dat de decimalen berekenbaar zijn wil nog niet zeggen dat er een gemakkelijk te achterhalen tegelmaat in zit. In de decimale ontwikkeling van pi valt geen patroon te bekennen. Deze willekeur in de decimale ontwikkeling van pi valt geen patroon te bekennen. De willekeur in de decimale ontwikkeling wan pi is wat veel mensen intrigeert. Op internet zijn er allerlei sites waarop de decimale ontwikkeling van pi op de een of andere manier bestudeerd wordt. Zo is er de `Pi-search` site Hier kun je een aantal cijfers intikken. Als antwoord krijg je de eerste plaats in de decimale ontwikkeling van pi waar dat rijtje cijfers voorkomt. Indien gewenst ook de tweede plaats, enzovoort.
http://www.aros.net/~angio/pi.stuff/piquery.html
. De decimale ontwikkeling van pi niet te onderscheiden is van een willekeurige rij cijfers. Een eindig rijtje cijfers komt op den duur even vaak in pi voor als dat je zou verwachten in een willekeurige rij.
Pi onthouden
Het onthouden van de eerste zoveel decimalen van pi is een sprot op zich. Maar in ons computertijdperk id dit een nogal nutteloze bezigheid geworden. Tegenwoordig tover je met een simpele druk op de knop vele duizenden decimalen op je scherm tevoorschijn. Over de geschiedenis van het getal pi. Wij hebben allemaal op school het volgende geleerd: de omtrek van een cirkel is 3 1/7 maal de middellijn, en de oppervlakte van een cirkel is 3 1/7 maal de straal in het kwadraat. Eigenlijk is de omtrek pi maal de middellijn, en de oppervlakte pi maal de straal in het kwadraat. Pi is een mysterieus getal, bij benadering 3 1/7 . Die benadering is in 2 decimalen nauwkeurig. Wilt u meer decimalen weten, dan zal ik u aan het eind van dit praatje een versje dicteren waarmee u de eerste 14 decimalen kunt onthouden (pakt u dus alvast pen en papier). Maar eerst iets over de geschiedenis van pi. Omdat de cirkel een veel voorkomende figuur is, vind je al in heel oude culturen waarden voor het getal pi. In het oude testament, 1 Koningen 7 vers 23, staat dat in de tempel van Salomo een bad van gietijzer gemaakt werd. Dit bad was ''tien el van rand tot rand, terwijl een meetsnoer van dertig el het rondom kon omspannen''. Als we aannemen dat het bad cirkelvormig was, dan was de omtrek dus 3 maal de middellijn, dus pi = 3. In die tijd waren er ook al betere benaderingen bekend, in Babylon gebruikte men soms pi = 3 1/8, al in 1 decimaal nauwkeurig. In de Griekse oudheid heeft Archimedes benaderingen van pi uitgerekend. Zijn idee is in moderne woorden heel eenvoudig uit te leggen. Kies een cirkel van middellijn 1, de omtrek heeft dan lengte pi. We kunnen die omtrek van de cirkel zelf niet direct uitrekenen. Archimedes kon echter wel de omtrek van de ingeschreven regelmatige zeshoek uitrekenen, die is 3. De cirkel is langer dan die ingeschreven zeshoek, en dus is pi groter dan 3. Archimedes laat nu ook zien, hoe je uitgaande van de zeshoek ook de ingeschreven twaalfhoek kunt berekenen. Die ligt al dichter bij pi. Hij verdubbelt het aantal zijden dan nog drie keer, dan krijgt hij een 96 hoek, die je in een plaatje al bijna niet meer van een cirkel kunt onderscheiden. Van die 96-hoek kan hij de omtrek uitrekenen, en daaruit krijgt hij dat pi groter is dan 3 10/71. Op dezelfde manier werkt hij met een omgeschreven 96-hoek, en hij vindt pi kleiner dan 3 1/7, dat is de benadering van school. We hebben nu pi in 2 decimalen nauwkeurig. Hoelang Archimedes hiermee recordhouder is geweest weten we niet. In India had men 500 na Christus pi in 4 decimalen. In China schijnt men omstreeks dezelfde tijd een breuk voor pi gevonden te hebben (355/113), en die is nauwkeurig in 6 decimalen. Diezelfde breuk is in de 17e eeuw opnieuw gevonden door de burgemeester van Alkmaar, Adriaan Metius. Met pi in 6 decimalen bleven de Chinezen recordhouders tot 1400. Toen berekende de Perzische wiskundige al-Kashi pi in 16 decimalen. Hij deed dit door het idee van Archimedes nog verder uit te werken. Al-Kashi verdubbelde de ingeschreven 96-hoek van Archimedes nog 23 keer. Hij kreeg daaruit een ingeschreven 805 miljoen 306 duizend 368 hoek, die natuurlijk nog maar heel erg weinig van de cirkel verschilt. De berekening is gigantisch lang, en je kunt je afvragen waarom iemand pi zo nauwkeurig wil berekenen. al-Kashi wilde dit, omdat hij de omtrek van de baan van Saturnus tot op een haarbreedte nauwkeurig kon uitrekenen (uitgaande van de veronderstelling dat de afstand correct bekend was). Het idee was dus pi zo nauwkeurig uit te rekenen dat dit voor altijd genoeg zou zijn. Het record van Al-Kashi bleef bijna twee eeuwen staan; toen werd het verbeterd door Ludolf van Ceulen, een Nederlander van Duitse afkomst. Deze berekende in 1596 twintig decimalen, en voor zijn dood in 1610 nog 15 decimalen extra. De 35 decimalen zijn op zijn grafzerk in de Leidse Pieterskerk gebeiteld, maar die grafsteen schijnt verdwenen te zijn. Ludolf van Ceulen gebruikte nog dezelfde methode als Archimedes en al-Kashi, maar in de 17e eeuw zijn in Europa met nieuwe wiskunde snellere methodes gevonden om pi te berekenen. We zullen nu het precieze aantal decimalen nu niet langer volgen; in de jaren 40 van deze eeuw waren er ongeveer 1000 bekend. Na de ontwikkeling van de computer kon men er nog meer berekenen, en met de tegenwoordige supercomputers en nog betere methoden zijn een paar miljard decimalen gevonden. Op dit moment vraagt u zich misschien af, of de berekening ooit af is. Heb je ooit pi precies? Het antwoord is nee; want er is aangetoond dat pi niet precies een breuk kan zijn. Sinds 1882 weten we zelfs dat pi een transcendent getal is, dat wil zeggen dat het nooit een wortel kan zijn van een vergelijking met gehele getallen als coëfficienten. Dat betekent ook het einde van een ander beroemd probleem uit de oudheid, de kwadratuur van de cirkel. Dat is het probleem om met passer en liniaal, een vierkant te vinden dat precies gelijk is aan een gegeven cirkel. Omdat pi een transcendent getal is, is dat probleem onoplosbaar. Er zijn natuurlijk altijd mensen die dit niet geloven, en die vinden dat zo'n belangrijk getal als pi eigenlijk een mooi getal moet zijn. In Duitsland verscheen nog in 1949 een boekje met een mystiek bewijs dat pi eigenlijk 3 1/5 zou moeten zijn. De waarde pi = 3 1/5 is ook eens als wetsvoorstel ingediend in de Amerikaanse staat Indiana, en het voorstel was bijna aangenomen, als een wiskundeleraar er geen stokje voor gestoken had. De staat Indiana hoopte de royalties te ontvangen van mensen die de nieuwe waarde pi=3 1/5 zouden gebruikten. Tenslotte komen nog de zinnetjes waarmee u de eerste 14 decimalen van pi kunt onthouden, dus dat pi = 3, 14159 26535 8979. Het aantal letters van elk woord in het zinnetje wat u zometeen te horen krijgt is steeds een decimaal van pi. Het eerste woord moet dus uit 3 letters bestaan, het tweede woord uit één letter, het derde woord uit vier letters, en zo verder. In het Nederlands zijn deze zinnetjes nogal gedwongen, en mijn favoriete zinnetje is daarom het volgende Engelse: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Als u niet van quantum mechanica houdt, maar het liever in de alternatieve sfeer zoekt, kunt u als onderwerp van die lectures iets anders nemen, als het maar een woord van 7 letters gevolgd door een woord van 9 letters is, bijvoorbeeld Eastern religions. De volgende decimaal is 3, en u kunt het zinnetje dan uitbreiden zoals in het volgende voorbeeld: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving Eastern religious art. Hoofdstuk 2: Herkomst van het getal nul: Nul of tien? De manier waarop wij onze getallen noteren is door de Arabieren naar Europa gebracht. Inclusief de nul, die door velen als essentieel wordt beschouwd in ons rekensysteem. Maar hebben we die nul ook werkelijk nodig? Normaal schrijven we de natuurlijke getallen met behulp van de tien symbolen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Echter, als we voor nul geen symbool invoeren en voor tien het symbool gebruiken, kunnen we de natuurlijke getallen noteren als: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
11 12 13 14 15 16 17 18 19 1x
enz. Als we in het gewone systeem 9+1 uitrekenen, dan komt op de plaats van de negen een nul te staan en worden tien eenheden overgeboekt naar de volgen cijferpositie(abacus). Dit heet met een engels woord ‘overflow’. Het resultaat van 9+1= dus een getal van 2 cijfers: 10. In het systeem met de 9+1nog steeds een getal van 1 cijfer, namelijk x. Pas bij x+1vindt er overflow plaats:tien eenheden worden overgeboekt naar de volgende cijferpositie en op de plaats van de z komt een 1 te staan. De overflow vindt dus niet plaats bij negen-plus-1, maar bij tien-plus- 1. Na de z komt dus het getal 11. Alle getallen zonder een x stelen hetzelfde getal voor als gewoonlijk. Verder stelt 1x twintig voor 2x dertig en 9x honderd. Honderd-en-een is x1. Honderdtien is xx, nog steeds een getal van 2 cijfers. Pas bij honderdenelf zijn er voor het eerst 3 cijfers nodig. En pas bij duizendhonderdelf vier cijfers. Deze nulloze code komt in de praktijk daadwerkelijk voor. Alleen dan niet met het getal tien als basis van het positiestelsel maar met zesentwintig. Voor de 26 benodigde verschillende symbolen voor de gallen 1 tot en met 26 worden dan de 26 letters van ons alfabet gebruikt. Postzegelverzamelaars zullen deze nolloze a-z-code wel kennen. Hij wordt (met kleine variatie)gebruikt in de grote postzegelcatalogussen van Michel en var Iver/Tellier om de volgnummers van de afgebeelde postzegels aan te geven.Een symboolvoor `niets` lijkt dus niet erg veel om het lijf t hebben. Maar zonder nul zou het leven en stuk lastiger zijn. Hoofdstuk 3: Chronologisch overzicht van beroemde wiskundige. Indian mathematicians are marked in red
Other non-Islamic mathematicians are marked in blue Slot: Dit is nog niet eens het gehele chronologische overzicht kijk voor de rest op http://wwwgroups.dcs.stand.ac.uk/~history/Timelines/index.html
De nul blijkt eigenlijk toch wel onmisbaar in ons getallenstelsel. En de pi is handig om mee te rekenen maar het is eigenlijk zomaar een rijtje getallen.
Het onthouden van de eerste zoveel decimalen van pi is een sprot op zich. Maar in ons computertijdperk id dit een nogal nutteloze bezigheid geworden. Tegenwoordig tover je met een simpele druk op de knop vele duizenden decimalen op je scherm tevoorschijn. Over de geschiedenis van het getal pi. Wij hebben allemaal op school het volgende geleerd: de omtrek van een cirkel is 3 1/7 maal de middellijn, en de oppervlakte van een cirkel is 3 1/7 maal de straal in het kwadraat. Eigenlijk is de omtrek pi maal de middellijn, en de oppervlakte pi maal de straal in het kwadraat. Pi is een mysterieus getal, bij benadering 3 1/7 . Die benadering is in 2 decimalen nauwkeurig. Wilt u meer decimalen weten, dan zal ik u aan het eind van dit praatje een versje dicteren waarmee u de eerste 14 decimalen kunt onthouden (pakt u dus alvast pen en papier). Maar eerst iets over de geschiedenis van pi. Omdat de cirkel een veel voorkomende figuur is, vind je al in heel oude culturen waarden voor het getal pi. In het oude testament, 1 Koningen 7 vers 23, staat dat in de tempel van Salomo een bad van gietijzer gemaakt werd. Dit bad was ''tien el van rand tot rand, terwijl een meetsnoer van dertig el het rondom kon omspannen''. Als we aannemen dat het bad cirkelvormig was, dan was de omtrek dus 3 maal de middellijn, dus pi = 3. In die tijd waren er ook al betere benaderingen bekend, in Babylon gebruikte men soms pi = 3 1/8, al in 1 decimaal nauwkeurig. In de Griekse oudheid heeft Archimedes benaderingen van pi uitgerekend. Zijn idee is in moderne woorden heel eenvoudig uit te leggen. Kies een cirkel van middellijn 1, de omtrek heeft dan lengte pi. We kunnen die omtrek van de cirkel zelf niet direct uitrekenen. Archimedes kon echter wel de omtrek van de ingeschreven regelmatige zeshoek uitrekenen, die is 3. De cirkel is langer dan die ingeschreven zeshoek, en dus is pi groter dan 3. Archimedes laat nu ook zien, hoe je uitgaande van de zeshoek ook de ingeschreven twaalfhoek kunt berekenen. Die ligt al dichter bij pi. Hij verdubbelt het aantal zijden dan nog drie keer, dan krijgt hij een 96 hoek, die je in een plaatje al bijna niet meer van een cirkel kunt onderscheiden. Van die 96-hoek kan hij de omtrek uitrekenen, en daaruit krijgt hij dat pi groter is dan 3 10/71. Op dezelfde manier werkt hij met een omgeschreven 96-hoek, en hij vindt pi kleiner dan 3 1/7, dat is de benadering van school. We hebben nu pi in 2 decimalen nauwkeurig. Hoelang Archimedes hiermee recordhouder is geweest weten we niet. In India had men 500 na Christus pi in 4 decimalen. In China schijnt men omstreeks dezelfde tijd een breuk voor pi gevonden te hebben (355/113), en die is nauwkeurig in 6 decimalen. Diezelfde breuk is in de 17e eeuw opnieuw gevonden door de burgemeester van Alkmaar, Adriaan Metius. Met pi in 6 decimalen bleven de Chinezen recordhouders tot 1400. Toen berekende de Perzische wiskundige al-Kashi pi in 16 decimalen. Hij deed dit door het idee van Archimedes nog verder uit te werken. Al-Kashi verdubbelde de ingeschreven 96-hoek van Archimedes nog 23 keer. Hij kreeg daaruit een ingeschreven 805 miljoen 306 duizend 368 hoek, die natuurlijk nog maar heel erg weinig van de cirkel verschilt. De berekening is gigantisch lang, en je kunt je afvragen waarom iemand pi zo nauwkeurig wil berekenen. al-Kashi wilde dit, omdat hij de omtrek van de baan van Saturnus tot op een haarbreedte nauwkeurig kon uitrekenen (uitgaande van de veronderstelling dat de afstand correct bekend was). Het idee was dus pi zo nauwkeurig uit te rekenen dat dit voor altijd genoeg zou zijn. Het record van Al-Kashi bleef bijna twee eeuwen staan; toen werd het verbeterd door Ludolf van Ceulen, een Nederlander van Duitse afkomst. Deze berekende in 1596 twintig decimalen, en voor zijn dood in 1610 nog 15 decimalen extra. De 35 decimalen zijn op zijn grafzerk in de Leidse Pieterskerk gebeiteld, maar die grafsteen schijnt verdwenen te zijn. Ludolf van Ceulen gebruikte nog dezelfde methode als Archimedes en al-Kashi, maar in de 17e eeuw zijn in Europa met nieuwe wiskunde snellere methodes gevonden om pi te berekenen. We zullen nu het precieze aantal decimalen nu niet langer volgen; in de jaren 40 van deze eeuw waren er ongeveer 1000 bekend. Na de ontwikkeling van de computer kon men er nog meer berekenen, en met de tegenwoordige supercomputers en nog betere methoden zijn een paar miljard decimalen gevonden. Op dit moment vraagt u zich misschien af, of de berekening ooit af is. Heb je ooit pi precies? Het antwoord is nee; want er is aangetoond dat pi niet precies een breuk kan zijn. Sinds 1882 weten we zelfs dat pi een transcendent getal is, dat wil zeggen dat het nooit een wortel kan zijn van een vergelijking met gehele getallen als coëfficienten. Dat betekent ook het einde van een ander beroemd probleem uit de oudheid, de kwadratuur van de cirkel. Dat is het probleem om met passer en liniaal, een vierkant te vinden dat precies gelijk is aan een gegeven cirkel. Omdat pi een transcendent getal is, is dat probleem onoplosbaar. Er zijn natuurlijk altijd mensen die dit niet geloven, en die vinden dat zo'n belangrijk getal als pi eigenlijk een mooi getal moet zijn. In Duitsland verscheen nog in 1949 een boekje met een mystiek bewijs dat pi eigenlijk 3 1/5 zou moeten zijn. De waarde pi = 3 1/5 is ook eens als wetsvoorstel ingediend in de Amerikaanse staat Indiana, en het voorstel was bijna aangenomen, als een wiskundeleraar er geen stokje voor gestoken had. De staat Indiana hoopte de royalties te ontvangen van mensen die de nieuwe waarde pi=3 1/5 zouden gebruikten. Tenslotte komen nog de zinnetjes waarmee u de eerste 14 decimalen van pi kunt onthouden, dus dat pi = 3, 14159 26535 8979. Het aantal letters van elk woord in het zinnetje wat u zometeen te horen krijgt is steeds een decimaal van pi. Het eerste woord moet dus uit 3 letters bestaan, het tweede woord uit één letter, het derde woord uit vier letters, en zo verder. In het Nederlands zijn deze zinnetjes nogal gedwongen, en mijn favoriete zinnetje is daarom het volgende Engelse: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Als u niet van quantum mechanica houdt, maar het liever in de alternatieve sfeer zoekt, kunt u als onderwerp van die lectures iets anders nemen, als het maar een woord van 7 letters gevolgd door een woord van 9 letters is, bijvoorbeeld Eastern religions. De volgende decimaal is 3, en u kunt het zinnetje dan uitbreiden zoals in het volgende voorbeeld: How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving Eastern religious art. Hoofdstuk 2: Herkomst van het getal nul: Nul of tien? De manier waarop wij onze getallen noteren is door de Arabieren naar Europa gebracht. Inclusief de nul, die door velen als essentieel wordt beschouwd in ons rekensysteem. Maar hebben we die nul ook werkelijk nodig? Normaal schrijven we de natuurlijke getallen met behulp van de tien symbolen: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Echter, als we voor nul geen symbool invoeren en voor tien het symbool gebruiken, kunnen we de natuurlijke getallen noteren als: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
11 12 13 14 15 16 17 18 19 1x
enz. Als we in het gewone systeem 9+1 uitrekenen, dan komt op de plaats van de negen een nul te staan en worden tien eenheden overgeboekt naar de volgen cijferpositie(abacus). Dit heet met een engels woord ‘overflow’. Het resultaat van 9+1= dus een getal van 2 cijfers: 10. In het systeem met de 9+1nog steeds een getal van 1 cijfer, namelijk x. Pas bij x+1vindt er overflow plaats:tien eenheden worden overgeboekt naar de volgende cijferpositie en op de plaats van de z komt een 1 te staan. De overflow vindt dus niet plaats bij negen-plus-1, maar bij tien-plus- 1. Na de z komt dus het getal 11. Alle getallen zonder een x stelen hetzelfde getal voor als gewoonlijk. Verder stelt 1x twintig voor 2x dertig en 9x honderd. Honderd-en-een is x1. Honderdtien is xx, nog steeds een getal van 2 cijfers. Pas bij honderdenelf zijn er voor het eerst 3 cijfers nodig. En pas bij duizendhonderdelf vier cijfers. Deze nulloze code komt in de praktijk daadwerkelijk voor. Alleen dan niet met het getal tien als basis van het positiestelsel maar met zesentwintig. Voor de 26 benodigde verschillende symbolen voor de gallen 1 tot en met 26 worden dan de 26 letters van ons alfabet gebruikt. Postzegelverzamelaars zullen deze nolloze a-z-code wel kennen. Hij wordt (met kleine variatie)gebruikt in de grote postzegelcatalogussen van Michel en var Iver/Tellier om de volgnummers van de afgebeelde postzegels aan te geven.Een symboolvoor `niets` lijkt dus niet erg veel om het lijf t hebben. Maar zonder nul zou het leven en stuk lastiger zijn. Hoofdstuk 3: Chronologisch overzicht van beroemde wiskundige. Indian mathematicians are marked in red
Other non-Islamic mathematicians are marked in blue Slot: Dit is nog niet eens het gehele chronologische overzicht kijk voor de rest op http://wwwgroups.dcs.stand.ac.uk/~history/Timelines/index.html
De nul blijkt eigenlijk toch wel onmisbaar in ons getallenstelsel. En de pi is handig om mee te rekenen maar het is eigenlijk zomaar een rijtje getallen.
REACTIES
:name
:name
:comment
1 seconde geleden