Archimedes-project 6- en 12-hoek (C en D)

Hier zijn de antwoorden op de opdrachten C en D van het Archimedes project

Experimenteel C.

Experiment 1: 'De driehoek met ingetekende zeshoek'
Archimedes heeft het begin bedacht voor het berekenen van Pi.?Deze manier is redelijk in woorden uit te leggen. Hij zag een cirkel met een middellijn 1. De omtrek heeft dan lengte Pi. De omtrek van de cirkel kun je niet direct uitrekenen. Archimedes kon wel de omtrek van de ingeschreven hoeken uitrekenen. Hij maakte in de cirkel een regelmatige zeshoek. Deze omtrek is 3. De cirkel is groter dan de ingetekende zeshoek, en dus kun je hieruit afleiden dat Pi groter is dan 3.

Door middel van de zeshoek kun je ook een ingetekende twaalfhoek maken. De berekening hiervan ligt alweer dichter bij Pi. Hij verdubbelt deze aantallen nog een aantal keer, waardoor hij een 96-hoek krijgt.?Deze is bijna niet te onderscheiden van een echte cirkel. Van deze 96-hoek rekent hij de omtrek uit en vind dat ? groter is dan 3 10/71 en kleiner is dan 3 1/7. Of in getallen: 3.140845070422535211< ~ < 3.142857142857142857 (zie ook ''Wiskunde D - Benaderen van het getal Pi door veelhoeken'')


Experiment 2: 'Dart'
dit plaatje benadert het getal pi=3.1415926... door middel van pijltjes gooien.
Wanneer we de oppervlakte van een cirkel met straal r (dit is pi×) vergelijken met die van een een vierkant met zijde 2r (zie tekening) dan kunnen we pi benaderen door willekeurig pijltjes te gooien in het vierkant. De verhouding (aantal pijlen terecht gekomen in cirkel gedeeld door totale aantal gegooide pijltjes) zal zijn pi/4 (dus 3.14../4). Hoe langer we pijltjes gooien, hoe nauwkeuriger het antwoord zal zijn.

Wiskundig D.

Benaderen van het getal Pi door veelhoeken

Pi is ongeveer 3,141592654 …
Maar er bestaat geen getal, dat precies gelijk is aan pi. Daarom wordt in formules ook vaker het knopje pi gebruikt dan 3,14 (...). Je kunt dan net zoveel decimalen invullen als nodig is voor de gewenste nauwkeurigheid.
Een andere manier om de grootte van Pi te benaderen, is door het gebruik van veelhoeken.

1. Pi benaderen met gebruik van een regelmatige 6-hoek.
Archimedes probeerde de grootte van Pi te benaderen door in de cirkel een figuur te tekenen dat hier zoveel mogelijk mee overeenkwam. Hij begon met een regelmatige zeshoek.

(teken hier een ingeschreven zeshoek)
~

Met behulp van de bovengetekende ingeschreven zeshoek kon Archimedes ongeveer de omtrek van het getal Pi berekenen, dat deed hij zo:

omtrek / diameter = ?


de som van alle driehoeken bij elkaar is 360 / 6 (alle zijden van de zeshoek) = 60
En omdat het bij een ingeschreven zeshoek gaat om zes gelijkbenige driehoeken, en niet alleen dat, maar ook nog gelijkzijdige driehoeken, is straal r dus gelijk aan zijde (AB in dit geval)

want:
60 graden + 2.x graden = 180 graden
2.x graden = 120
x = 60 graden

zijde = straal

omtrek pi 6.straal
? ? 6.r/2.r = 3

2. Pi benaderen door een regelmatige 12-hoek.
(teken hier een ingeschreven twaalfhoek)
~

r - h = r - ?3/2.r
r(1- ?3/2)
En omdat hoek A = 90 graden kan de stelling van Pythagoras worden toegepast:

h2 + (1/2 r)2 = r2
h2 + 1/4 r2 = r2
h2 = 3/4 r2
h2 = ?3/4.r2
h = ?3/2.r

En dus geld in een regelmatige 12 hoek (omdat hoek A = 90 graden, en dus de stelling van Pythagoras):
(bij r = 1)
z2 = (1/2)2 + (r.(1 - ?3/2))2

z2 = 1/4 r2 + r2(1 - ?3/2)2
z2 = 1/4 + (1 - ?3/2)2
(etcetera)

En de regelmatige 24, 48 en 96-hoek kunnen ook op deze manier berekend worden.
(de berekening voor de ingeschreven 6-en 12-hoek zijn voldoende, een berekening voor de uitgeschreven 6- of 12-hoek is niet nodig.)

Bronnen:

Internet:
http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/ponudba/seminar/26sept96/DARTS/darts.html
http://home.hccnet.nl/david.dirkse/artikelen/pi_calc.html
http://www.wikipedia.org => Goniometrie, gelijkbenige driehoeken, rekenen met verhoudingen, veelhoeken, raaklijneigenschappen.

Boeken:
Pi: de geschiedenis en de wiskunde van het getal Pi
Archimedes in Bad.