Vermenigvuldiging en deling van lijnen en parabolen

Inleiding In dit hoofdstuk leiden wij onze praktische opdracht voor wiskunde in. We maken de vraagstelling duidelijk; Als je 2 lijnen hebt, kan je dan wanneer je deze 2 lijnen vermenigvuldigt een parabool krijgen? Aan welke eigenschappen moeten lijnen voldoen om samen een parabool te vormen? Wanneer je daar in tegen een parabool en een lijn hebt, kan je dan deze parabool door de lijn delen zodat je weer 2 lijnen krijgt? Aan welke eigenschappen moet een lijn voldoen, zodat je een parabool door een lijn kan delen en je een 2e lijn krijgt? We gaan dat duidelijk proberen te maken aan de hand van voorbeelden. We gaan kijken wanneer het wel en wanneer het niet kan. Vraag 1:B: Zijn snijpunten van elkaar
C: Via table-routine: antwoord is: -4,5 D: Als een van beide lijnen negatief is Vraag 2:A: A en D zijn de snijpunten met de x-as. Die zijn altijd hetzelfde. B en C zijn ook snijpunten B: Zie opdrachtenblad C: In het midden van de parabool zit de symetrie-as. En aan beide kanten van die lijn is het de       Tegen stelling van de andere kant. Vraag 3:A: 1e lijn: X - 1       2e lijn: X + 4 B: Nee, dit is onmogelijk Vermenigvuldiging van lijnen Ons doel is om te kijken wanneer we, als we 2 lijnen met elkaar vermenigvuldigen, een parabool krijgen.
Voorbeelden 1: ( X - 1 ) x ( X + 4 ) Bij het haakjes uitwerken van deze formule kwamen we tot de volgende formule: X^2 + 3X - 4. Deze formule is van een dalparabool. Conclusie: Dit is een correct voorbeeld. 2:( X + 4) x ( X + 7) Bij het haakjes uitwerken van deze formule kwamen we tot de volgende formule: X^2 + 4X + 28. Deze formule is van een dalparabool. Conclusie: Dit is een correct voorbeeld Hieronder volgen nog meer voorbeelden, deze zijn verkort in een tabel opgeschreven.   Som Uitkomst Soort lijn Conclusie 3 (X - 3)  x (X - 2) X^2 - 5X + 6 Dalparabool Correct voorbeeld         4 (-X - 1) x ( -X + 3) X^2 - 2X - 3 Dalparabool Correct voorbeeld        
5 (-X + 2) x (X - 3) -X^2 + 5X - 6 Bergparabool Correct voorbeeld         6 (X - 4) x (-X + 1) -X^2 + 5X - 4 Bergparabool Correct voorbeeld         7 (3X) x (X + 2) 3X^2 + 6X Dalparabool Correct voorbeeld         8 (3) x (X^2 + 2) 3X^2 + 6 Dalparabool Correct voorbeeld         9 (X - 2) x 4 4X - 8 Stijgende lijn Verkeerd voorbeeld         10 (X^2 - 2) x (x + 4) X^3 + 4X^2 - 2X - 8 Eerst stijgend dan dalend dan weer stijgend Verkeerd voorbeeld Uitleg bij voorbeelden 1, 2, 3, 4, 5 & 6: Al deze lijnen hebben in de uitkomst een X-kwadraat zitten. Bezit een formule een X-kwadraat dan zal de lijn een parabool zijn.
7 & 8: Bij 7 & 8 blijkt dat het ook mogelijk is om aan de ene kant een X-kwadraat te hebben en aan de andere kant een getal. Ook mag de X eerst zelf nog vermenigvuldigt worden is zijn "eigen" formule alvorens je hem met de andere formule vermenigvuldigt. 9 & 10: Bij 9 ontstaat geen X-kwadraat en hierdoor ook geen parabool. Bij 10 ontstaan meerdere machten en hierdoor ook geen parabool. Vermenigvuldiging van lijnen Conclusie Uit de voorbeelden blijkt, dat wil de bijbehorende lijn bij een formule een parabool zijn, deze formule een X-kwadraat moet hebben. Er mag en moet in deze formule maar 1 macht voorkomen en hierbij geldt ook dat X^2 als hoogste en als laagste macht geldt. Bezit een formule geen X-kwadraten, dan zal de lijn geen parabool zijn. Bezit een formule meerdere Xen met machten dan zal de lijn ook geen parabool zijn. Hebben beide lijnen een X dan vormen deze samen een X-kwadraat. Heeft een formule X-kwadraat dan is de bijbehorende lijn een parabool. Is de X-kwadraat positief, dan zal de parabool een dalparabool zijn. Is een van de X-kwadraten negatief dan zal dit tot gevolg hebben dat de bijbehorende parabool een bergparabool zal zijn. Zijn beide X-kwadraten negatief dan heeft dit tot gevolg dat de parabool een dalparabool zal zijn. Want negatief maal negatief = positief. Deling van parabolen Nu gaan we bekijken, wanneer we een parabool met bijbehorende formule plus een willekeurige formule hebben of deze parabool dan door de formule gedeeld kan worden. En of we dan ook weer een 2e lijn erbij krijgen.
Voorbeelden We geven de volgende voorbeelden gelijk verkort in een tabel.   Som Uitkomst 1 ( X^2 - 5X + 6 ) / ( X - 2 ) X - 3       2 ( X^2 - 4X + 3 ) / ( X + 3) X + 1       3 ( -X^2 + 4 ) / ( -X + 2 ) X + 2       4 ( -X^2 - 4X - 4 ) / ( -X - 2) X + 2       5 ( X^2 + 1X - 6) / -X +2 -X - 3       6 (3X^2 + 6X + 3) / 3 X^2 + 2X +1 Eigenschappen die een formule nodig heeft. Uit de voorbeelden hierboven blijkt dat als je 2 formules hebt met allebei een X lukt het altijd. Als je een parabool door een constante deelt, houd je hier weer een parabool aan over. Dit is dus niet goed, want we wilden uit de parabool 2 lijnen overhouden, en niet weer een parabool. Bij een parabool die niet met de X-as snijdt is geen deling mogelijk. Conclusie Wil je uit een parabool een lijn overhouden door de parabool door een andere lijn te delen, dan moet de parabool in ieder geval met de X-as snijden. De lijn mag niet constant zijn zoals: Y = 3. Hier hou je dan weer een parabool aan over. Hebben zowel de parabool als de lijn een X in hun formule dan is een deling altijd mogelijk.
Nawoord Toen we deze praktische opdracht voorgeschoteld kregen wisten we niet echt wat we er mee aan moesten. Wat konden we hier nou over vertellen. Toch zijn we er vol vertrouwen mee begonnen en het resultaat heeft U in dit verslag kunnen lezen. Informatie zoeken over dit onderwerp op internet viel erg tegen. Eigenlijk viel informatie zoeken in het algemeen over dit onderwerp best wel tegen. Daarom hebben we met behulp van Dhr. Rensen, onze wiskunde leraar en ons eigen verstand toch geprobeerd alles zo goed mogelijk op te lossen en uit te leggen. Wat voor de volgende praktische opdracht wel fijn zou zijn, is het feit dat we graag wat meer tijd zouden willen hebben voor zo'n opdracht. We hebben deze gehele opdracht nu in een week af moeten hebben en we hebben ook nog eens gewoon huiswerk erbij moeten maken. Toch hebben we het verslag op tijd afgekregen. Het huiswerk tsja dat is een ander verhaal. (Geen paniek hoor we werken het bij.) Bronvermelding Ons wiskunde informatie boek Onze wiskunde leraar Ons eigen "gezonde" verstand Hopelijk heb je hier wat aan. Wil je meer informatie mailen kan je me altijd e-mailen.