Leerboek 1 examenstof

Wiskunde boek 1.
Hoofdstuk 1.

Procenten.
Hoeveel % is AS van het totaal?

Antwoord =
A
------------ x 100 %
Totaal

Absolute veranderingen zijn veranderingen in aantallen.
Relatieve veranderingen zijn veranderingen in procenten.

Relatieve verandering =
Nieuw- oud
------------------------------- x 100 %
Oud
Procenten moet je afronden op één decimaal tenzij er iets anders wordt aangegeven.
Bij geld bedragen moet je afronden op centen.
1% = 0,01 dus 11,8% = 0,118


Toename van 8% > nieuw = 1,08 x oud.
Bedrag + 8% > bedrag = 1,00 > 8% =0,08 > nieuwe bedrag = 1,08.

Afname van 11% > nieuw = 0,89 x oud.
Bedrag – 11% > bedrag =1,00 > -11% = -0,11 > nieuwe bedrag = 0,89

Als je steeds met de zelfde factor moet vermenigvuldigen is het handig om de constante factor op de GR te gebruiken.
In 1996 groeit de bevolking gemiddeld 2,4% per jaar de bevolkingsgrootte is dan 5,9 mln. Hoe reken je uit hoeveel het in 2000 is?
5,9 [enter] [x] 1,024 [enter] [enter] [enter] [enter].

Gebeurtenis vraag antwoord

5,8% van 51 Hoeveel is dat 0,058 x 51 = 2,958
18 van 51 Hoeveel procent is dat 18 : 51 x 100% = 35,3 %
Een toename van 60 naar 80 Hoeveel is de toename in procenten (80 – 60) : 60 x 100% = 33,3%
Een afname van 80 naar 60 Hoeveel is de afname in procenten (60 - 80) : 80 x 100% = -25%
60 neemt toe met 18% Hoeveel krijg je 1,18 x 60 = 70,8
80 neemt af met 18% Hoeveel krijg je 0,82 x 80 = 65,6
Een toename met 18% geeft 80 Hoeveel had je 80 : 1,18 = 67,8

Een afname met 18% geeft 60 Hoeveel had je 60 : 0,82 = 73,2

Geef nieuw altijd in 1 decimaal meer als oud.

Grafieken.
Als in de tabel iets boven aan staat moet het in de grafiek op de horizontale as komen te staan.
Als het onderaan in de tabel staat moet het bij de verticale as komen te staan.
Als je in een grafiek a uitzet tegen b, dan staat a op de verticale as staat en b op de horizontale as.

Interpoleren: tussenliggende waarden schatten
Extrapoleren: een waarde schatten die buiten de gegevens ligt.
Bij interpoleren en extrapoleren kun je grafieken gebruiken. Ga wel altijd na of je schatting reëel is.

Het op schrijven van het gebruikte scherm gaat als volgt wanneer er staat:
Xmin = 0
Xmax = 10
Xscl = 1
Ymin = -3
Ymax = 8
Yscl = 1
Xres = 1

[1,10]x[-3,8]

Formules en grafieken.
Kwadratische formules: y= 0,3x^2 + 6x – 8
Wortel formules : y= 3+ √x
Exponentiele formules : y= 5 x 1,08^x


Met table maak je tabellen bij een formule (practicum 3)

Hoofdstuk 2.
De vermenigvuldigingsregel.

1. boomdiagram

fig 2.1

2. wegen diagram

fig 2.2
3. rooster
hoeveel wedstrijden spelen 3 teams in een hele competitie tegen elkaar. in het rooster staan alle mogelijke combinaties. er zijn in dit geval dus 6 wedstrijden. a b c
a x x
b x x
c x x

4. systematisch de mogelijkheden noteren.
frits gert en ham kunnen op zes manieren achter elkaar gaan staan. fgh ghf hfg
fhg gfh hgf

Optellen of vermenigvuldigen bij tel problemen.
Kan handeling 1 ip p manieren en handeling 2 op q manieren, dat kan.

- handeling 1 EN handeling 2 = p x q
- handeling 1 OF handeling 2 = p + q

Tellen zonder herhaling.
Fig 2.3

Het aantal rondwandelingen van A via B naar A is 5 x 5 = 25
Dit is met herhaling.
Maar als je niet dezelfde weg terug wilt nemen (zonder herhaling dus) dan krijg je 5 x 4 = 20 mogelijkheden.

Permutaties en combinaties.
8 wielrenners doen mee aan een wedstrijd op hoeveel manieren kunnen de 1e 2e en 3e plaats worden verdeeld?
8 x 7 x 6
Want herhaling is niet toegestaan en na de gouden medaille zijn er nog 7 die kans maken op de zilveren medaille en dan nog 6 die kans maken op de bronzen medaille.

Bij permutaties mogen dingen niet vaker als een keer voorkomen. Het voorbeeld hierboven is dus een permutatie.
Zo is het aantal permutaties van 4 uit 10:

10 x 9 x 8 x 7 .

Op hoeveel verschillende manieren de wielrenners uit het voorbeeld kunnen eindigen is:
8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Dit is dus het aantal permutaties van 8 uit 8. Je kunt dit ook kort op schrijven: 8!
Dit noem je 8 faculteit.
Hoe voer je dit in:
[8] ga naar het [ MATH-PRB-menu] en kies optie 4 [:!] en druk op [enter] het antwoord is dus 40320 manieren.

Klas H4a kiest een afvaardiging van 3 leerlingen voor het schoolparlement. Alleen andre bianca carlos dick en eline hebben belangstelling.
Op hoeveel manieren is uit deze 5 leerlingen een afvaardiging van 3 te kiezen? Bij de eerste leerling kun je uit 5 mogelijkheden kiezen bij de 2e uit 4 en bij de 3e nog maar uit 3 toch is het antwoord niet 5 x 4 x 3.
Je moet er namelijk rekening mee houden dat de afvaardiging abd het zelfde is als adb bad bda dab en dba. De volgorde doet er immers niet toe.
Deze 3! (=6) permutaties van a,b en d tellen maar voor een afvaardiging.

5 x 4 x 3 60
In totaal zijn er dus ----------- = ---- = 10 mogelijkheden. 3! 6
als bij het kiezen van 3 dingen uit 5 dingen de volgorde niet van belang is zoals hierboven dan spreken we van het aantal combinaties van 3 uit 5.

Is de volgorde van belang dan heb je te maken met permutaties Is de volgorde niet van belang dan heb je te maken met combinaties.
De permutaties van 2 letters uit de 4 letters a, b, c en d zijn De combinaties van 2 letters uit de 4 letters a, b, c en d zijn:
Ab ba ca da
Ac bc cb db
Ad bd cd dc Ab
Ac bc
Ad bd cd
Er zijn dus 12 mogelijkheden Er zijn dus 6 mogelijkheden.

Bij Het aantal afgevaardigde van 3 uit 5 gaat het om een combinatie.
Dit kun je ook noteren als 5 boven 3.
7 7 x 6 x 5 x 4
= -----------------
4 4!
Hoe voer je dit in: [10] [math prb] 3e optie [ncr] en dan nog [4] [enter]

Als er 2 manieren zijn om een hokje te vullen (met bijvoorbeeld a of b) dan kun je op de volgende manier uitrekenen op hoeveel verschillende manieren je dit kunt doen.
2x2x2x2x2x2x2x2x2x2x2= 2048

Maar je kunt het ook gemakkelijker doen:
2^11

Routes in een rooster.
Fig 2.4

> O ^N
Een mogelijke route om van a naar b te komen in fig 2.4 is:
N N O O N O O O O O
Je moet 3x naar noord gaan en ook 6x naar oost. In totaal moet je 9x een keuze maken.
Het antwoord op de vraag hoeveel manieren zijn er om van a naar b te komen is dus
9
3 = 84

Van a naar p heb je 5 mogelijkheden van p naar b heb je 4 mogelijkheden in totaal
2 1
zijn er dus om van a naar b te komen via p 5 x 4 = 40 mogelijkheden
2 1

Hoe los je een vraag bij een onvolledig rooster op.
Je telt de goede (schuin boven het punt) getallen op en zo ga je door tot aan het punt dat je wilt bereiken. Zie het voorbeeld in figuur 2.5

Fig 2.5

Hoofdstuk 3.
Stijgen en dalen.

Fig 3.1
Het open interval <6,13> is het gedeelte van de getallenlijn tussen 6 en 13.
De grenzen (6 en 13) doen dus niet mee. Dit geef je aan met open bolletjes aan het einde van de lijn

Fig 3.2

Het gesloten interval [1,6] is het gedeelte van de getallenlijn vanaf 1 tot en met 6.
De grenzen (1 en 6) doen hier dus wel mee. Je geeft dit aan met gesloten bolletjes aan het einde van de lijn.

Verschillende soorten van stijgen en dalen:
Fig 3.3
1 2 3
4 5 6

1: constante stijging
2: toenemende stijging
3: afnemende stijging
4: constante daling
5: toenemende daling
6: afnemende daling

Maxima, minima en periodiciteit.
Toppen zijn de hoogste of laagste punten van een grafiek.
Zie fig 3.4
Punt a: maximum punt c: absolute maximum
Punt b: minimum punt q: minimum (je weet niet hoe het verder verloopt)

Punt p: absolute minimum

Fig 3.4

Maximum of minimum opsporen in een grafiek op de GR:
Maximum of minimum in het calc menu. De rest wijst zich van zelf.

Een lange termijn ontwikkeling heet een trend. De grafiek schommelt om een kromme die de trend weergeeft.

Toename diagrammen.
Het verschil tussen waarden van t is delta t dit schrijf je als ∆t
De toename of afname van een lijnstuk kun je berekenen door
∆ y
-----
∆ x

Interval ∆ x ∆ y
0,1] 1 1,7
[1,2] 1 1,5
[2,3] 1 1,3
[3,4] 1 1,2
[4,5] 1 1,1
∆ x is de stap grootte

Bij deze tabel hoort het toenamediagram van fig 3.5
fig 3.5

1

0,5
0 1 2 3 4 5

Differentiequotiënt.
∆ Wil zeggen verandering.

Gemiddelde verandering =
∆ y
-------
∆ x

De gemiddelde verandering wordt ook weer differentiequotiënt genoemd.
Dit gebruik je om veranderingen te vergelijken.

Als s is uitgezet tegen t (s verticaal en t horizontaal) dan krijg je
∆ s
-------
∆ t

Hoofdstuk 4.
Relatieve frequentie en kans.

Frequentie tabel:

aantal passagiers 0 1 2 3 4
frequentie 9 12 6 4 1

Frequentie is een ander woord voor voorkomen.
De totale frequentie is hier: 9 +12 +6 +4 +1 =32
Dit zijn dus alle auto’s die zijn geteld.
Relatieve frequentie van een gebeurtenis: de frequentie in procenten uitgedrukt.

Relatieve frequentie =
Frequentie
--------------------------- x 100%
Totale frequentie


De kans op gebeurtenis G is P(G) =
Frequentie van G
------------------------------
Totale frequentie


Let op bij het berekenen van kansen waarbij je moet kiezen uit een beperkte groep. Deel in dat geval door de totale frequentie van die groep.
Dat je met een beperking te maken hebt kun je vaak zien aan het woord die.

Empirische kansen: kansen geschat op grond van het verleden.

Theoretische kansen.

P (gebeurtenis) =
Aantal gunstige uitkomsten
-------------------------------------------
Aantal mogelijke uitkomsten

Om bij een samengesteld kansexperiment (zoals gooien met een dobbelsteen, een geldstuk of mee spelen in een loterij) een overzicht van alle uitkomsten te krijgen maak je:
- een rooster, als het om twee experimenten gaat.
- Een boomdiagram, als het om meer dan 2 experimenten gaat.

Kansbomen.
Stel je hebt 2 potjes, in het eerste potje zitten 3 rode en een witte knikker, in het 2e potje zitten 2 rode en een grijze knikker. Om gemakkelijk de kans te berekenen maak je een kansboom zoals bij fig 4.1 .
Fig 4.1 (blz 200)


Om kansen te berekenen bij een samengesteld kansexperiment kun je vaak een kansboom gebruiken. Bij het doorlopen van een kansboom vermenigvuldig je de kansen die je tegenkomt.

Bij het maken van een kans boom kun je het gemakkelijkste aan het einde van iedere tak de uitkomst zetten. Zet dan ook bij iedere uitkomst die je nodig hebt de kans. En tel de kansen die je nodig hebt bij elkaar op.